Время, необходимое для слива жидкости из резервуара (задача и решение из области прикладного мате... скачать в хорошем качестве

Время, необходимое для слива жидкости из резервуара (задача и решение из области прикладного мате...

В этой задаче у нас есть цилиндрический резервуар, открытый сверху и заполненный водой. Мы хотим найти время, необходимое для полного опорожнения резервуара, предполагая идеальную жидкость (пренебрегая трением, вязкостью, турбулентностью и т. д.). Мы будем называть верхнюю часть резервуара точкой 1, площадь которой равна 1, а высота — 1. Мы также определим точку 2 как точку, из которой жидкость выходит из резервуара; она имеет площадь 2 и высоту 2. Я перечислил все значения диаметров и высоты, с которыми мы будем работать. Как же нам решить эту задачу? Вспомним из видео о поршне, вытесняющем воду, что расход Q сохраняется. Таким образом, тот же объем, на который уменьшается объем резервуара, равен тому же объему, который из него выходит. Это означает, что мы можем взять площадь 1, умноженную на скорость 1, и приравнять ее к площади 2, умноженной на скорость 2. Площадь поперечного сечения, умноженная на скорость жидкости через это поперечное сечение, будет представлять собой расход в этой точке. Вспомним из видео о законе Торричелли, что скорость воды, вытекающей из дна резервуара, такая же, как и скорость свободно падающей капли воды, сброшенной с уровня воды в резервуаре (это в идеальных условиях). Таким образом, уравнение для скорости², то есть скорости у отверстия в дне резервуара, равно квадратному корню из 2, умноженному на g, умноженному на высоту от уровня воды до отверстия в дне. Я буду обозначать квадратные корни в степени ½, которая эквивалентна квадратному корню. Теперь нам нужно определить скорость¹, или скорость, с которой жидкость в резервуаре опускается со временем. Это, по сути, просто изменение высоты, деленное на изменение времени. Изменение перемещения за время — это определение скорости. Теперь мы можем подставить ΔH/Δt в уравнение вместо скорости. На следующем шаге нам нужно перенести все, кроме ΔH/Δt, на одну сторону. Затем мы сгруппируем все значения, которые остаются постоянными, и приравняем это значение к K. Затем заменим все эти значения буквой k в исходном уравнении. Получаем, что dh/dt равно k, умноженному на квадратный корень из высоты воды в резервуаре в начальных условиях. Далее разделим обе стороны уравнения на квадратный корень из высоты. Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны уравнения по переменной, которая изменяется с обеих сторон. Напомним, что возведение чего-либо в отрицательную степень равно делению на это значение в эту степень. Я сделал это с высотой. Мы используем комбинацию правила степеней и правила констант… которые для вашей справки приведены на этом слайде. В итоге получаем, что 2, умноженное на квадратный корень из h, равно k, умноженному на t плюс c. В данном случае наша константа будет равна 0. Теперь, если мы разделим обе стороны на k, мы получим уравнение для времени, за которое жидкость вытекает из резервуара. Теперь мы можем подставить значение нашей константы k. И подставим все значения, которые я перечислил в начале задачи. Мы получаем время 1075 секунд, что равно 17,9 минутам на опорожнение этого резервуара. Имейте в виду, что это идеальный пример, поэтому в реальности он, вероятно, будет опорожняться медленнее. Вот итоги видео для закрытого опроса, который я разместил на вкладке сообщества. Это добавляет еще одно видео к прикладному исчислению. Отказ от ответственности Эти видео предназначены только для образовательных целей (студенты, пытающиеся сдать экзамен). Если вы проектируете или строите что-либо на основе этих видео, вы делаете это на свой страх и риск. Я не являюсь профессиональным инженером, и это не следует рассматривать как инженерную консультацию. Проконсультируйтесь с инженером, если вы считаете, что можете подвергнуть кого-либо риску.