Математический анализ. Лекция 1.1 // Станислав Шапошников скачать в хорошем качестве

Математический анализ. Лекция 1.1 // Станислав Шапошников

Лекции в НМУ, 2017-2018 гг. Программа первого семестра: 1) Множества. Функции. Отношения порядка и эквивалентности. Вполне упорядоченные множества. Индукция. Аксиома выбора. 2) Вещественные числа. Принципы полноты и их эквивалентность. Комплексные числа. Кватернионы. 3) Предел последовательности и сумма ряда. Теоремы Больцано и Вейерштрасса. Критерий Коши. 4) Вещественные числа пополнение рациональных. P-адические числа. 5) Топология вещественной прямой. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой. Теорема Бэра. 6) Компакты. Лемма Гейне-Бореля-Лебега. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Множество Кантора. 7) Предел функции и непрерывность функции в точке. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций. 8) Соображения непрерывности. Фундаментальная группа окружности и ее приложения. 9) Поточечный и равномерный пределы последовательности функций. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывных функций полиномами. 10) Дифференцируемость и производная. Пример Вейерштрасса нигде не дифференцируемой функции. 11) Формула Тейлора. Сходимость и свойства степенных рядов. Аналитические функции. Программа второго семестра: 1) Первообразная. Теорема Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях. 2) Мера Лебега. Пример Витали неизмеримого множества. Парадокс Банаха-Тарского. 3) Интеграл Римана и интеграл Лебега. 4) Топологические, метрические пространства и нормированные пространства. Последовательности и направленности. Неметризуемость поточечной сходимости. 5) Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах и теорема Бэра. Теорема о сжимающем отображении. 6) Компакты. Конечномерность и компактность шара. Непрерывные отображения. Лемма Шпернера. Теорема Брауэра. Теорема Шаудера о неподвижной точке. 7) Критерий компактности Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа. Фракталы. Множества Кантора и Серпинского. Теорема Менгера-Небелинга-Понтрягина. 8) Существуют ли функции нескольких переменных? Теорема Колмогорова-Арнольда и 13-я проблема Гильберта. 9) Непрерывные линейные операторы. Дифференцирование. Производные Гато, Адамара и Фреше. Частные производные. Матрица Якоби. 10) Теорема о неявных функциях. Гладкие поверхности. Касательное пространство. Лемма Морса. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших. Шапошников Станислав Валерьевич — доктор физико-математических наук.