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Ableitung von x hoch x, implizites Ableiten

Die Aufgabe, die Funktion f(x)=xx (x hoch x) abzuleiten, wirkt manchmal etwas unzugänglich, vielleicht deshalb, weil sich der Funktionsterm xx doch etwas eigen präsentiert. In diesem Video wird gezeigt, wie eine kleine Umformung das Problem vollständig löst. Transkript: Es gibt eine Funktion, der ich nachts im Dunkeln nicht unbedingt begegnen möchte. Und das ist xx. Muss ich auch nicht, denn hier wird sie nur abgeleitet. Wir haben die Funktion f(x) = x hoch x. Die möchten wir ableiten. Und das geht nicht nach der Potenzregel. Hier ist die Potenzregel. Die Potenzregel gilt nur dann, wenn im Exponenten eine bestimmte Zahl steht und eben nicht die Variable x. Wir können aber diesen Term anders aufschreiben. Und zwar können wir schreiben: (elnx)x. Warum geht das? ln von x ist die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um x zu erhalten. Wenn wir e mit dieser Zahl potenzieren, erhalten wir x. Das heißt, hier steht also nichts anderes als dieses x. Auf diesen Term hier können wir ein Potenzgesetz anwenden. Wir haben hier eine Potenz, die potenziert wird. Und das können wir auch als Produkt der Exponenten aufschreiben. Also wir haben exlnx. Das hier ist nun eine verkettete Funktion, die wir mit dieser Kettenregel ableiten können. Wie kommt das? Wir können uns überlegen, was würde denn passieren, wenn wir einen Funktionswert ausrechnen möchten? Dann würden wir eine Zahl für x einsetzen. Davon würden wir den Logarithmus zur Basis e bilden. Diese Zahl würden wir mit x multiplizieren. Und das Ganze dann in den Exponenten von e einsetzen. Wir können nun sagen okay, bis hierhin ist meine innere Funktion. Ab hier ist die äußere Funktion. Und dann haben wir also eine verkettete Funktion, auf die wir die Kettenregel anwenden können. Wir fangen an mit der Ableitung der inneren Funktion. Das ist der Funktionsterm der inneren Funktion. Also können wir aufschreiben (xlnx). Davon suchen wir die Ableitung. Und das geht mit der Produktregel. Wir haben hier zwei Faktoren, die multipliziert werden. Und die können wir so ableiten. Wir beginnen mit der Ableitung des ersten Faktors. Die Ableitung von x ist 1. Wir schreiben den zweiten Faktor hin. Also lnx. Dann schreiben wir den ersten Faktor hin und die Ableitung des zweiten Faktors. Die Ableitung von lnx ist 1/x. Also können wir aufschreiben: lnx + 1. So, nach dieser Vorarbeit sind wir jetzt eigentlich schon durch mit der Sache. Wir suchen also die Ableitung der Funktion xx. xx können wir anders schreiben, nämlich als (exlnx). Und das Ganze können wir dann ableiten. Das funktioniert mit der Kettenregel. Wir haben die Ableitung der inneren Funktion schon gebildet. Die steht hier. Also können wir schreiben lnx + 1. Dann brauchen wir die Ableitung der äußeren Funktion. Die äußere Funktion ist e hoch Exponent. Und die Ableitung sieht genauso aus. Also können wir schreiben mal e hoch Exponent, also hoch xlnx. Ja, und das lässt man so meistens nicht stehen. Zum einen schreibt man die 1 meist vorne hin. Das ist aber Geschmackssache. Und da wir letzten Endes ja xx ableiten wollten, schreiben wir das auch hin. Und damit sind wir jetzt wirklich durch. Die Ableitung von xx ist also (1+lnx)*xx. Dann sind wir fertig. Und, was hat geholfen? Eine kleine Umformung, die Kettenregel und die Produktregel. Manchmal ist es eben doch nicht so schlimm, wie es aussieht.