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Sylow Sätze Teil 1 Einführung Motivation Erklärung (Algebra)

Die Sylow Sätze sind nach dem norwegischen Mathematiker Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918) benannt. In fünf Teilen wollen wir sie verstehen und vertiefen, in dem wir sie zunächst im 1. Teil allgemein erklären und in den anschließenden Teilen sechs Aufgaben bearbeiten und lösen, um sie zu verstehen und zu vertiefen. Nach dem Satz von Lagrange wissen wir, dass die Ordnung der Untergruppe einer endlichen Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung ist. Die Frage ist nun, ob es zu jedem Teiler n eine Untergruppe mit der Ordnung n gibt. Die Antwort darauf ist: Im Allgemeinen Nein. Zum Beispiel hat die alternierende Gruppe A_4 mit der Ordnung 12 keine Untergruppe der Ordnung 6. Aber für manche Teiler (Primzahlen) stimmt dies schon und damit handeln die Sylow Sätze. Sei nun G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl, die die Gruppenordnung teilt. Eine Untergruppe heißt p-Sylowuntergruppe, falls die Ordnung p^m ist, mit m ist das Maximum der Primzahlpotenz, die noch die Gruppenordnung teilt. Sylow Satz 1: G hat eine p-Sylowuntergruppe. Sylow Satz 2: Die p-Sylowuntergruppen von G sind konjugiert. Eine wichtige Folgerung: Es gibt genau dann eine p-Sylowuntergruppe von G, wenn jede p-Sylowuntergruppe von G ein Normalteiler von G ist. Sylow Satz 3: Wir schreiben die Gruppenordnung als p^{m}*k, mit p und k sind teilerfremd. Dann ist die Anzahl der p-Sylowuntergruppen von G kongruent zu 1 modulo p und ein Teiler von k. Teil 2 (Aufgaben Gruppe Ordnung 33 40 84 Normalteiler nicht einfach nichttrivialen Normalteiler Lösung):    • Sylow Sätze Teil 2 Aufgaben Gruppe nicht e...   Teil 3 ( Aufgabe Gruppe Ordnung 30 Sylowscher Normalteiler Lösung):    • Sylow Sätze Teil 3 Aufgabe Gruppe Ordnung ...   Teil 4 (Aufgabe Gruppe Ordnung 132 nicht einfach Lösung):    • Sylow Sätze Teil 4 Aufgabe Gruppe Ordnung ...   Teil 5 (Aufgabe Gruppe endlich Normalisator p-Sylowuntergruppe normal Lösung):    • Sylow Sätze Teil 5 Aufgabe Gruppe endlich ...   Mathematik, Algebra, Gruppentheorie, Gruppe, Sylow, Sylow Sätze, Sylow Satz, Untergruppe, Teiler, teilt, teilerfremd, Erklärung, Motivation, Einführung, einfach, cool, Sylowuntergruppe, Primzahl, prim, p-Sylowuntergruppe, Aufgabe, Lösung, Übung, Staatsexamen, Klausur, Prüfung, Tutorium, Beweis, zeige, endlich, endliche Gruppe, Anzahl, Normalteiler, nicht einfach, Normalisator, konjugiert, zyklisch, Satz, Lagrange, Gruppenordnung, Definition, Maximum, Folgerung, Korollar, normal, kongruent, modulo