Вывод: момент инерции тонкого кольца и момент инерции тонкой цилиндрической оболочки. скачать в хорошем качестве

Вывод: момент инерции тонкого кольца и момент инерции тонкой цилиндрической оболочки.

00:00 Два вывода момента инерции с использованием физического интегрирования: в этом видео мы вычисляем момент инерции тонкого кольца и момент инерции тонкой цилиндрической оболочки. 🧠 Доступ к полным курсам физики с видеолекциями и примерами доступен на сайте https://www.zakslabphysics.com/ В первом выводе момент инерции тонкого кольца вычисляется путём его разбиения на точечные массы, каждая из которых вносит вклад mr^2 в общий момент инерции (момент инерции точечной массы входит в исходный вывод момента инерции здесь    • Rigid body rotational kinetic energy, mome...   ). Получив формулу для момента инерции тонкого кольца, мы можем использовать этот результат для нахождения момента инерции тонкой цилиндрической оболочки, разложив её на тонкие кольца! 00:34 Подготовка к выводу момента инерции тонкого кольца: мы разбиваем тонкое кольцо на точечные массы dm, занимающие бесконечно малую дугу ds на кольце и стягиваемые углом d(theta). Мы хотим выразить dm через d(theta), чтобы получить тета-интеграл, и для этого нам понадобится понятие линейной плотности. Линейная плотность — это масса на единицу длины, то есть масса равна линейной плотности, умноженной на длину. Это позволяет нам записать dm как линейную плотность (лямбда), умноженную на ds, где ds — приращение длины дуги. Теперь мы используем геометрическую формулу, связывающую длину дуги, радиус и стягиваемый угол, чтобы получить ds=R*d(theta). Теперь dm записывается как лямбда*R*d(theta). 02:27 Составим и вычислим интеграл момента инерции для тонкого кольца: теперь, когда у нас есть выражение для dm, мы можем вычислить вклад dI в полный момент инерции I. dI = (dm)r^2, поскольку dm — точечная масса, и мы заменяем dm на лямбда*R*d(theta), чтобы получить dI = лямбда*R^3d(theta). Теперь суммируем вклады момента инерции, используя интегрирование: I = интеграл(dI), и вычисляем интеграл. В результате всё ещё остаётся лямбда (линейная плотность), которую мы хотим выразить через массу кольца и его размеры. Поскольку линейная плотность — это масса/длина, а длина равна одной окружности, мы заменяем лямбду на M/2π*R и упрощаем результат, чтобы получить формулу для момента инерции тонкого кольца: MR^2. 04:56 Примечание к физической интуиции: распределение массы тонкого кольца такое же, как и у точечной массы, поскольку 100% массы находится на расстоянии R от оси вращения. Поэтому формула для момента инерции та же. Кроме того, тонкая цилиндрическая оболочка также имеет 100% массы на расстоянии R от оси вращения, поэтому мы ожидаем, что формула для тонкой оболочки также будет MR^2. 05:58 Настройка для вывода момента инерции тонкой оболочки: мы разрезаем тонкую оболочку на тонкие кольцевые элементы массы dm шириной dx и радиусом R и хотим записать dm через dx. Здесь нам нужно ввести плотность площади, которая представляет собой массу на единицу площади. Это означает, что массу можно записать как плотность площади (сигма), умноженную на площадь. Площадь тонкого слоя равна 2π*R*dx, поэтому приращение массы равно dm=2π*sigma*Rdx. 07:58 Составим и вычислим интеграл момента инерции для тонкой оболочки: теперь, когда у нас есть выражение для dm через dx, мы можем записать вклад момента инерции для этого тонкого кольца. Мы используем наш предыдущий результат о том, что момент инерции тонкого кольца равен mr^2, поэтому подставляем нашу массу и радиус, чтобы получить dm*R^2, что упрощается до 2π*sigma*R^3dx. Чтобы суммировать вклады момента инерции, мы интегрируем по x от 0 до L (длины цилиндра) и получаем момент инерции с множителем σ. Нам нужно исключить плотность площади из массы и размеров оболочки. Сигма — это масса, деленная на площадь, а площадь равна 2π*R*L. Выполнив эту замену и упростив результат, мы получаем момент инерции оболочки: MR^2, как и ожидалось!