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Conjuntos abiertos | Topología General

Definición: Sea (X, T) un espacio topológico. A los elementos de T les llamamos conjuntos abiertos. Es importante destacar que un conjunto es abierto relativo a una topología. Esto es, un conjunto puede ser abierto para un espacio topológico y al mismo tiempo puede no ser abierto para otro espacio topológico. De esta definición de conjunto abierto, y de la definición de topología, tenemos el siguiente teorema: Sea (X, T) un espacio topológico. Entonces: 1) X y el conjunto vacío son abiertos 2) Las uniones (finitas e infinitas) de conjuntos abiertos es un conjunto abierto 3) La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Las primeras dos propiedades caen directamente de la definición de topología. La tercera es un poco diferente. En nuestra definición de topología decíamos que solo necesitábamos que la intersección de dos elementos de T esté en T. Afirmamos que esto implica que la intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Este hecho se puede demostrar utilizando inducción matemática. También veremos que la intersección infinita de conjuntos abiertos no siempre es abierto.