Вычислите интеграл от 0 до pi /2 log(sin x) dx скачать в хорошем качестве

Вычислите интеграл от 0 до pi /2 log(sin x) dx

Мы вычисляем интеграл от 0 до π/2 log(sin x) dx, используя свойства определённых интегралов. В этом видео объясняется, как вычислить определённый интеграл от 0 до π/2 от log(sin x) dx, используя свойства определённых интегралов (00:00). Преподаватель начинает с того, что приравнивает интеграл к 'I', а затем применяет свойство определённых интегралов: ∫0^a f(x) dx = ∫0^a f(a-x) dx (00:15). Вот пошаговое описание: 1. Применение свойства: Интеграл преобразуется из log(sin x) в log(cos x) заменой x на (π/2 - x) (0:50-1:39). 2. Сложение интегралов: Исходный интеграл (I) и преобразованный интеграл (I) складываются, в результате чего получается 2I = ∫_0^pi/2 [log(sin x) + log(cos x)] dx (01:56-2:21). 3. Использование свойств логарифмов: Сумма логарифмов преобразуется в логарифм произведения: log(sin x cos x) (2:29-2:40). 4. Подстановка: Для упрощения выражения производится подстановка, где 2x = t, что также требует изменения пределов интегрирования (3:01-3:40). 5. Дальнейшее свойство логарифмов: Выражение log(sin t / 2) разлагается на log(sin t) - log(2) (4:29-4:32). 6. Еще одно интегральное свойство: используется свойство ∫0^(2a) f(x) dx = 2 * ∫0^a f(x) dx, учитывая, что sin(pi - t) = sin(t) (4:45-6:21). 7. Окончательная подстановка и решение: после упрощения интеграл признается исходным интегралом 'I', что приводит к решению: I = - (pi/2) log(2) (6:46-7:31).