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現代数学を生み出した無限集合

カントールが，現代数学の根幹である集合論の基礎を創始したきっかけは，とある無限集合でした． ◇◇◇◇◇◇数学的補足◇◇◇◇◇◇ 　動画内では，イメージしやすいような説明のために，現代数学の視点からすると厳密さが削がれてしまっている，またはもう少し説明したいけど，脇道にそれるため省略している部分があります．そのため，気になる部分について，説明欄での補足を試みています．： (補足1) "密度"という言葉について 　密度は集合論の基礎的な部分では出てこない用語ですが，動画ではイメージしやすいように用いています． 　密度という言葉には，「点が密に詰まっている」というイメージが内包されていますが，このイメージを数学的に実現しようとしたら，本来は距離や位相などの構造が必要になります． 　実数直線上において，密度としてイメージできるような概念には，「集合の濃度」「稠密性」「疎な集合」「痩せた集合」「測度」「連続性」などがあります．大ざっぱには，濃度が高くなれば局所的に稠密になりやすいし，疎集合であれば測度は小さく，濃度は低い，といった直観を持つことはできますが，数学的にはこれらの概念はきれいに関係しているわけではありません． 　例えば，カントール集合は疎集合で1次元ルベーグ測度0なのに，連続濃度を持つし，またQはR上稠密なのに1次元ルベーグ測度は0で、可算です．さらに太いカントール集合は，正のルベーグ測度を持つのに疎な集合であるような例です． 　このように，点が密に詰まっているかどうかを議論の主題とする場合は，どの概念を採用しているのか，ということを決めておかなくてはなりません． (補足2) ZとQの中間の密度 　動画内では，密度の定義として導集合を用いています．導集合操作によっていずれ空集合になってしまうような集合を「ZとQの中間の密度」としてイメージさせていますが，なぜZとQの中間なのか，ということに関しては数学的な理由があるわけではありません． 　カントールの研究内容でいうならば，一意性集合としてカントール集合を上げているので，もしかしたらZとカントール集合の中間の密度と表現したほうが自然な可能性もあります． (補足3) 集積点の定義 　ユークリッド空間内において，xが部分集合Aの集積点であることは，以下の2つの方法で表現ができます： 　　(a) x の任意の近傍にAの点が無限に存在すること：∀U∈N(x), |A∩U|≧ℵ₀ 　　(b) x の任意の近傍にx以外のAの点が存在すること：∀U∈N(x), U∩(A∖{x})≠∅ 　密集地点であるということを強調する場合は，(a)を集積点の定義とするのが自然です．確かにユークリッド空間において、(a),(b)は同じことを意味していますが，一般の位相空間においては異なるものです． 　位相空間では，(b)を集積点の定義とし，(a)が成り立つときは x を ω-集積点 と呼びます． 　例えばRに密着位相 T を入れた空間 (R,T) では，これらの概念は異なります．事実，例えば A={0,1}⊂R について，(R,T) において R の任意の点は A の集積点ですが，ω - 集積点ではありません． (補足4) 順序数について 　動画内では，順序数を「 ω に演算を施したものが続く感じ」といいましたが，これは順序数の簡単なイメージをさせるための説明であり，これをもって順序数が定義されるわけではありません． 　順序数は集合論の言葉で内包的に定義されており，ω 以下の順序数に対する四則演算やベキを用いて表現できないような順序数も考えることができます． ◇◇◇◇◇◇動画内正誤表◇◇◇◇◇◇ 11:25地点 誤：∃M[ ∅∈M ∧ ∀x[ x∈M → x∪{x}∈ "I" ] ] 正：∃M[ ∅∈M ∧ ∀x[ x∈M → x∪{x}∈ "M" ] ] ◇◇◇◇◇◇動画内素材◇◇◇◇◇◇ BGM：「アトリエと電脳世界」しゃろう    • 【30分耐久フリーBGM】アトリエと電脳世界 (Atelier and t...   OPジングル：「キネマティック4」 https://www.springin.org/sound-stock/... EDジングル：「ジングル＆ループ002」 https://musmus.main.jp/ ◇◇◇◇◇◇制作者情報◇◇◇◇◇◇ キャラクター・動画制作：https://x.com/Keyneqq ◇◇◇◇◇◇その他情報◇◇◇◇◇◇ 2024/08/14：音声の問題により、再アップしました