Цепное правило в многомерном исчислении скачать в хорошем качестве

Цепное правило в многомерном исчислении

Правило цепочки в двух конкретных ситуациях: (1) вычисление композиции скалярной функции вдоль кривой и (2) вычисление f(x, y) с x и y функциями s и t. (Многомерное исчисление, Модуль 3, Лекция 13) Сначала рассмотрим векторную функцию 𝑟⃗ от одной переменной 𝑡 и скалярную функцию 𝑓 от 𝑛 входных данных: 𝑓∘𝑟⃗ : 𝑡 ↦ 𝑟⃗ (𝑡) ↦ 𝑓∘𝑟⃗ (𝑡) = 𝑓(𝑟⃗ (𝑡)). Мы видим, что в целом композиция 𝑓(𝑟⃗ (𝑡)) представляет собой функцию, отображающую действительные числа в действительные числа. Её производная получается с помощью цепного правила, которое в данном контексте преобразуется в градиент 𝑓, вычисленный в точке 𝑟⃗ (𝑡), с точкой производной 𝑟⃗ ′(𝑡), вектором скорости: 𝑑/𝑑𝑡(𝑓∘𝑟⃗ (𝑡))=∇𝑓(𝑟⃗ (𝑡))⋅𝑟⃗ ′(𝑡). Например, пусть 𝑟⃗ (𝑡)=⟨𝑡cos(𝑡),𝑡sin(𝑡)⟩ и 𝑓(𝑥,𝑦)=sqrt(𝑥^2+𝑦^2). Мы находим производную 𝑓(𝑟⃗ (𝑡)) по 𝑡, используя два метода: прямое вычисление композиции с последующим дифференцированием и применение цепного правила. Оба метода дают согласованные результаты, подтверждая применение цепного правила. Во втором примере пусть 𝑟⃗ (𝑡)=⟨4cos(𝑡),3sin(𝑡),𝑡^2⟩ и 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥^2+𝑦^2+𝑧^2. Применяя цепочку уравнений, мы вычисляем производную 𝑓(𝑟⃗ (𝑡)) по 𝑡. Это включает в себя нахождение градиента 𝑓, его вычисление вдоль 𝑟⃗ (𝑡) и затем сопоставление его с вектором скорости 𝑟⃗ ′(𝑡). Мы исследуем ситуацию, когда скалярная функция 𝑓(𝑥,𝑦) зависит от 𝑥 и 𝑦, которые являются функциями других переменных 𝑠 и 𝑡. Цепное правило позволяет вычислить частные производные 𝑓 по 𝑠 и 𝑡, учитывая, как 𝑥 и 𝑦 изменяются относительно этих переменных: ∂𝑓∂𝑠=∂𝑓/∂𝑥 ∂𝑥/∂𝑠 + ∂𝑓/∂𝑦 ∂𝑦∂/𝑠 ∂𝑓/∂𝑡=∂𝑓/∂𝑥 ∂𝑥/∂𝑡 + ∂𝑓/∂𝑦 ∂𝑦/∂𝑡. #математика #многомерноеисчисление #исчисление #дифференцирование #цепноеправило #частныепроизводные #iitjammathematics #calculus3