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AT2026 week 2-1

熱力學：從方程式到「我們真的想量什麼」 上禮拜我們推導了一個——我自己覺得——比較適合大氣熱力、或大氣科學人使用的 equation of state（狀態方程）。我在整個推導過程中想傳達的訊息其實很簡單：以前學過的那些式子，我們希望把它變成一個比較「好用」的版本。 這個「好用」，不是數學上更漂亮，而是針對大氣科學的需求。 所以我們從最基本的 pV = nRT（或你腦中那個 p = \rho RT）出發，走到我們想要的 equation of state，過程中做了很多操作。老實說，我個人覺得這整段最困難的地方，不是物理，而是——符號真的太多。 你回去看上禮拜推完，你會發現我一口氣堆了一堆符號：乾空氣的壓力、水氣壓、各自的密度、不同的係數、乾空氣的氣體常數……整個看起來像是符號的堆疊遊戲，好像我只是在做符號交換、搬來搬去，然後最後組合出一個「equation of state for 乾空氣」跟一個「長得很像但不是乾空氣」的東西。 但我們真正的目標是什麼？ 我們要描述的不是「乾空氣」，我們要描述的是氣塊（parcel）。氣塊裡面有水氣，所以我們想知道：當你把水氣也算進去，氣塊的 equation of state 會變成什麼樣子？ 1. 先把乾空氣的狀態方程寫好，然後把水氣加進來 所以我們有乾空氣的 equation of state，也想要找「濕空氣」的版本。這一步用到道爾吞分壓定律（Dalton’s law）——就是那個 ABCD 的 D。 它告訴我們：在佔有同樣體積的前提下，分壓加總等於總壓。也就是你量到的總壓力 p，會等於乾空氣的分壓加上水氣的分壓： p = p_d + p_v 然後就會有人每年都問：上面這個要不要提密度？ 你故意的嗎？——故意的。因為每年都有人問，我現在狠了：如果你覺得它錯，就是你剛剛沒有聽懂。 因為我們佔有同樣的體積嘛。質量除以體積是密度，所以密度可以直接加： \rho = \rho_d + \rho_v 可以加。OK。 所以你就可以把兩個 equation of state 加起來，然後代回去，把它整理成你想要的形式。中間會出現那個看起來很討厭的符號：\alpha（specific volume，密度的倒數）。但最後整理完會變回你熟悉的樣子： p = \rho R T 差別只是：現在你要把它整理成「整個氣塊」的密度 \rho，並且希望氣體常數是乾空氣的 R_d。那怎麼辦？就把 R_d 提出來，然後你就會得到一坨跟水氣含量有關的係數乘在溫度前面。 那坨長得很醜。 所以我們要用更好用的變數來描述它——用水氣含量。 2. 選對變數：用 q_v（比濕）來救你的代數 我們想用 q_v 來描述水氣。那 q_v 是什麼？它是質量比（水氣質量 / 濕空氣總質量）。在同體積的想像下，你也可以把它跟密度比連在一起，所以你會覺得它換來換去概念沒有差很多。 感受一下量級：10 g/kg 就是 0.01。也就是一公斤空氣裡面大概 1% 的水。水氣密度本來就小，所以那個 absolute humidity 值也不大。 所以整段代數的本質其實是： 你要把醜醜的係數換成一個你熟悉、而且量級直覺清楚的變數。 這時候就引入那個大家愛背答案的數字： \epsilon = \frac{R_d}{R_v} \approx 0.622 （腦中一片空白想抄答案了……我還可以撐多久。） 然後你整理、再整理，最後會得到一個乾淨的形式：我們把它定義成一個新的溫度： T_v = T(1 + 0.61 q_v) 我剛做得很辛苦對不對？通常 homework 就是要你做這個。你如果用 r_v（混合比）做，你會發現更辛苦，困難度直接加一級——因為代數展開會更複雜。 所以整個困難其實不是「算不算得出來」，而是你有沒有選對變數。 3. 先不要背：先感受虛溫的量級 算出來之後不要急著背。先感受一下它到底會改變多少。 例如 T = 300K，q_v = 10 g/kg = 0.01。 那 0.61 q_v \approx 0.0061。 所以 T_v \approx 300 \times 1.0061 \approx 302K。 也就是多個幾 K。 水越多，T_v 就越高。水為 0 當然就是 300K。 注意：這個溫度不是你實際量到的溫度。它是我們定義出來的溫度——意思是：如果你把水加到氣塊裡面，它看起來就「好像」更熱一點。 大氣系很愛溫度。什麼東西都要變成溫度。因為你可以用壓力、用密度、用別的方式描述 state，但我們喜歡溫度，因為我們腦中的概念模型常常就是那句話： 熱空氣上升、冷空氣下降。 所以你會開始覺得：為什麼要定義虛溫？ 答案不是「因為課本這樣寫」，而是——我們需要把組成差異，轉譯成一個可以放進概念模型的“冷熱”語言。 課本或 Google 會寫一句很長、很繞口的話：「同壓力密度下，濕空氣等同於乾空氣所具有的溫度。」我其實很不喜歡這句。因為你用這句話不會知道它在幹嘛。 我們要連回物理：加水氣到底造成什麼？ 虛溫要連回浮力：你其實在講密度差 加水氣會讓虛溫變高。那虛溫變高代表什麼？ 你可以這樣想：你講「熱空氣上升、冷空氣下降」，其實是在講浮力（buoyancy）。 浮力的概念是：同一個水平面上比較，輕的往上、重的往下。那「輕重」是什麼？是密度。 所以問題變成： 密度差能不能用溫度差來描述？ 可以嗎？可以嗎？可以嗎？（可以。） 這個串接是這樣： • 我要描述浮力 • 浮力要用密度差 • 但我不想用密度（因為觀測上你不太量密度） • 我想用更接近我量得到的量：溫度、水氣 • 所以我用 equation of state 把密度換成溫度來描述 • 然後我用虛溫把「水氣造成的密度差」塞回溫度語言裡 所以你會得到一個很重要的結論： Virtual temperature 其實是在度量浮力。 你可以把它叫做「浮力溫度」。 因為水氣變化很大，而水氣會改變空氣密度、改變浮力。你如果只看實際溫度，你會漏掉組成造成的效果。所以我們才要把它改寫成 T_v。 因此，浮力用虛溫寫出來，就會變成一個很直覺的判準： • 氣塊的虛溫比環境大 → 氣塊「等效更熱、更輕」→ 往上 • 氣塊的虛溫比環境小 → 往下 整段推導沒有要做複雜的事情。 我們只是用 equation of state 做代換，把密度語言換成溫度語言，讓「熱空氣上升冷空氣下降」這個概念模型，能夠在包含水氣時仍然成立。 水氣在大氣科學的三個角色 好，到這邊你其實學到：水氣在大氣科學至少有三個很重要的角色。 （1）相變：凝結、對流、降水 有水氣就有凝結，有凝結就有潛熱釋放。潛熱會改變溫度剖面、能量平衡，副產品就是降水，這會直接影響天氣。 （2）輻射：溫室效應 水氣的輻射效應很強，它影響溫室效應很大。水氣變動很大時，輻射計算更精準，對氣候變遷評估就可能更好——這也是近幾年的顯學。 （3）動力：浮力與環流 今天學到的：水氣會影響浮力。因為水分子比較輕，所以水氣變多會影響密度與浮力，進而影響環流建立、對流發展。 你可以用一句話把它總結成三種面向： 相變（physics of phase change）＋輻射（radiation）＋動力（buoyancy/flow）。 最後：符號不同不是重點，你要抓住 state 的關係 我最後還想提醒你們一件事：你們之後會一直遇到這種情況——不同人用不同符號描述大氣 state。有人用 q_v，有人用蒸氣壓 e。你國中高中都學「水氣就是蒸氣壓」，你現在看到 q_v 就會想：水氣不是應該是 e 嗎？ 可以連。 透過定義與 equation of state 都可以互相轉換。 我不想推給你抄，因為你抄了你還是不會。你回去當練習： 請把 q_v（kg/kg）跟 e（hPa）連起來。 你能把這兩個世界轉換起來，你才真的開始能跟不同的人溝通。