Решения дифференциальных уравнений в виде степенных рядов — Метод рядов для решения дифференциаль... скачать в хорошем качестве

Решения дифференциальных уравнений в виде степенных рядов — Метод рядов для решения дифференциаль...

В математике метод степенных рядов используется для поиска решения некоторых дифференциальных уравнений в виде степенного ряда. В общем случае для такого решения предполагается степенной ряд с неизвестными коэффициентами, а затем это решение подставляется в дифференциальное уравнение для нахождения рекуррентного соотношения для коэффициентов. Метод степенных рядов может быть применён к некоторым нелинейным дифференциальным уравнениям, хотя и с меньшей гибкостью. Очень большой класс нелинейных уравнений может быть решён аналитически с помощью метода Паркера–Сохацкого. Поскольку метод Паркера–Сохацкого предполагает расширение исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений посредством вспомогательных уравнений, его называют не просто методом степенных рядов. Метод Паркера–Сохацкого применяется до метода степенных рядов, что делает метод степенных рядов применимым для многих нелинейных задач. Задача ОДУ может быть расширена с помощью вспомогательных переменных, что делает метод степенных рядов тривиальным для эквивалентной, более крупной системы. Расширение задачи ОДУ с помощью вспомогательных переменных даёт те же коэффициенты (поскольку степенной ряд для функции уникален) за счёт вычисления коэффициентов вспомогательных уравнений. Зачастую без использования вспомогательных переменных не существует известного способа получить степенной ряд для решения системы, поэтому метод степенных рядов сам по себе затруднён к применению к большинству нелинейных уравнений. Метод степенных рядов даёт решения только для начальных задач (в отличие от краевых задач). При работе с линейными уравнениями это не проблема, поскольку решение может содержать несколько линейно независимых решений, которые можно объединить (путём суперпозиции) для решения краевых задач. Дополнительным ограничением является то, что коэффициенты ряда будут заданы нелинейной рекуррентностью (нелинейности наследуются от дифференциального уравнения). Для того чтобы этот метод решения работал, как и в случае линейных уравнений, необходимо представить каждый член нелинейного уравнения в виде степенного ряда, чтобы все члены можно было объединить в один степенной ряд.