Почему 1 + 1/√2 + … + 1/√n лучше 2(√(n+1) − 1) | Дискретная математика | Суммирование | Догматика скачать в хорошем качестве

Почему 1 + 1/√2 + … + 1/√n лучше 2(√(n+1) − 1) | Дискретная математика | Суммирование | Догматика

В этом видео мы докажем методом индукции неравенство 1 + 1/√2 + 1/√3 + … + 1/√n, большее 2(√(n+1) − 1) для всех положительных целых чисел n. Мы начнём с базового случая n = 1 и тщательно проверим неравенство, используя алгебру, а не калькулятор. Затем мы предположим, что утверждение верно для n = k, и построим случай k+1, прибавив 1/√(k+1) к обеим частям. Суть доказательства заключается в сравнении двух выражений с квадратными корнями: мы «нерационализируем» разность корней с помощью приёма сопряжённых корней, переписываем её в виде одной дроби, а затем используем перекрёстное умножение, чтобы показать выполнение необходимого неравенства. Наконец, мы связываем всё воедино транзитивностью, завершая индукцию. По ходу дела мы кратко обсуждаем, как может существовать телескопический подход, но полностью концентрируемся на чистом доказательстве индуктивного неравенства.    • Summations      • Discrete Mathematics      • Induction Proofs   ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ Математическая индукция (базовый случай и индуктивный шаг) Неравенства и сохранение направления при операциях Гипотеза индукции P(k) и целевое утверждение P(k+1) Преобразование сумм обратных квадратных корней Использование сопряжённых чисел для записи разностей квадратных корней Преобразование корневых выражений в рациональные дроби Перекрёстное умножение в неравенствах Транзитивность неравенств к цепочке Границы Главы: 00:00 Введение 00:45 Базовый случай n = 1 P(1) 02:00 Формулировка индукционной гипотезы P(k) 03:15 Запись утверждения P(k+1) 04:30 Целевое неравенство для правой части и преобразование 06:00 Применение метода сопряжения к разности квадратных корней 07:45 Сравнение 1/√(k+1) 09:30 Завершение неравенства и доказательство того, что P(k) влечёт P(k+1) 11:30 Сборка индукции и подведение итогов 13:30 Заключительные комментарии 14:45 Спасибо за просмотр #dogmathic #discretemath #inequalityities #induction #mathmatics #proofs #harmonicseries #sqrt #mathtutorial #mathproof