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最もシンプルな関数方程式

今回扱った関数方程式はコーシーの関数方程式(Cauchy's functional equation)といいます 動画の最後に紹介した加法性を満たす不連続関数は、より強く非可測関数になっています。更にD_aは非可測集合であることも示せます 任意の実数に対してそれに収束する有理数列が存在するという主張もより強く、任意の実数に対してそれのm進小数展開ができるという主張が成り立ちます。例えば円周率πは10進小数展開を考えれば3, 3.1, 3.14, 3.141, …という有理数列の極限値であることがわかります。また動画の途中で登場したfの連続性と数列の極限に関する命題の逆は選択公理を認めると成り立ちます (参照 : 斎藤毅著 集合と位相 東京大学出版会) 選択公理を認めることで存在が保証されるRのQ上の基底をハメル基底(Hamel basis)といいます Tom Leinsterの著書Entropy and Diversity: The Axiomatic Approach(日本語訳:春名太一 訳 エントロピーと多様性の数理 森北出版)の1.1節にてコーシーの関数方程式の話題が扱われています https://amzn.to/4nz5rEH arXivにPDFがあります↓ https://arxiv.org/abs/2012.02113 【参考文献】 ・猪狩惺著 実解析入門 新装版 岩波書店 ・集合と位相 斎藤毅著 東京大学出版会 この動画の制作にはManimを使用しています 使用bgm:哲人たちの昼餉 使用ボイス:VOICEVOX四国めたん #数学