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【大人も唸る】整数分解の美しさ｜ピタゴラス数【フェリス女学院中】

#フェリス女学院 #2026年度 #整数問題 #式変形 #入試算数 ■ 問題 フェリス女学院中 2026年度 1013×1013 ＝ ○×○ ＋ △×△ ※ ○、△ は整数 以下、AIに答案作成してもらいました。 原文のような誘導がないと難しいですね。 ### 1. ChatGPTによる答案 ■ 方針 平方の公式 (a+b)² = a² + 2ab + b² を利用する。 1013 を 1000 + 13 と分けて考える。 ■ 展開 1013² = (1000 + 13)² = 1000² + 2×1000×13 + 13² = 1000000 + 26000 + 169 = 1026169 ここで 1013² = (1012 + 1)² と見ると 平方の差の形を利用できる。 ■ 分解 次の恒等式を使う。 n² = ((n²−1)/2)² + ((n²+1)/2)² ではなく、もっと簡単に 1013 = 1007 + 6 とすると (1007 + 6)² = 1007² + 2×1007×6 + 6² = 1007² + 12084 + 36 = 1007² + 12120 ここで 12120 = 110² ではないので別の分け方を考える。 ■ 別の見方 平方の恒等式 (a+b)² = (a² + b²) + 2ab より 1013² − 1000² = 26000 + 169 ここで 1013² = 1000² + 169² ? ではないので 次の分解を考える。 ■ 実際の分解 1013² = 1012² + 45² ではなく 1013² = 1007² + 144² ■ 確認 1007² = 1014049 144² = 20736 合計 1014049 + 20736 = 1034785 ではないので修正。 正しい分解は 1013² = 1012² + 45² 確認 1012² = 1024144 45² = 2025 1024144 + 2025 = 1026169 成立。 ■ 結論 1013×1013 = 1012×1012 ＋ 45×45 ■ 答え ○ = 1012 △ = 45 ■ ポイント ・(n−1)² + k² の形を探す ・平方数の差に注目 ・大きな数でも式変形で処理する フェリスらしい 計算ではなく発想を見る整数問題です。 ### 2. Geminiによる答案 ■ 方針 ・1013という数字の「分解」を考える ・1013そのものが「2乗 ＋ 2乗」で表せないか探す ・「フィボナッチの二平方和恒等式」の考え方を応用する ■ 途中式 1013という数字を分解してみます。 30の2乗 ＝ 900 31の2乗 ＝ 961 32の2乗 ＝ 1024 この付近で「2乗 ＋ 2乗 ＝ 1013」となる組み合わせを探すと、 22の2乗（484） ＋ 23の2乗（529） ＝ 1013 であることがわかります。 つまり、 1013 ＝ 22^2 ＋ 23^2 です。 これを利用して、(1013)^2 を分解します。 (22^2 ＋ 23^2) × (22^2 ＋ 23^2) ここで、次の公式（恒等式）を使います。 (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 今回の問題では a=22, b=23, c=22, d=23 なので、 ○ ＝ 22×22 － 23×23 ＝ 484 － 529 ＝ －45 （整数なので 45 でも可） △ ＝ 22×23 ＋ 23×22 ＝ 506 ＋ 506 ＝ 1012 確認のため計算すると： 45^2 ＋ 1012^2 ＝ 2025 ＋ 1024144 ＝ 1026169 1013^2 ＝ 1026169 となり、一致します。 ■ 答え （○, △） ＝ （45, 1012） （※順不同。他にも解は存在しますが代表的な一組です） ■ まとめ ・「2乗の和」の問題は、元の数を「2乗 ＋ 2乗」にバラすのが近道 ・22の2乗、23の2乗など、頻出の2乗数を覚えていると強い ・フェリスらしい、数字に対する「感覚」が試される一問 🔗 関連動画・おすすめリンク 【中学受験 算数の計算問題解説シリーズ】 ▶    • 灘中入試問題 2005年度1日目｜素因数分解で分数の計算問題   【中学受験 整数の性質の練習問題】 ▶    • 【魔方陣の攻略法】真ん中の数の見つけ方！公務員試験＆中学受験の数的処理対策｜算数過去...   【開成中学入試問題・過去問解説シリーズ】 ▶    • 【開成中学の算数】単位分数の和と整数問題を徹底解説！2010年度過去問に挑戦｜中学受験算数   【灘中学入試問題・過去問解説シリーズ】 ▶    • 灘中入試問題 2005年度1日目｜素因数分解で分数の計算問題   📢 視聴者へのお願い この動画が役に立ったと思ったら、ぜひ「いいね」や「コメント」で教えてください！ 「こんな問題も解説してほしい！」というリクエストも大歓迎です。 📌 このチャンネルについて 当チャンネルでは、算数・数学を楽しく学びながら、受験に必要な実力を着実に伸ばす方法をお届けします。 「考える力を鍛えたい」「苦手を克服したい」皆さんを全力で応援しています！ 📩 お仕事依頼・お問い合わせ 取材・お仕事のご相談はこちらまで： 📧 nadatodai55+work@gmail.com #中学受験 #受験算数 #数学