Modulo Rechnen Inverse Gleichungen Erklärung Beispiele (Zahlentheorie) скачать в хорошем качестве

Modulo Rechnen Inverse Gleichungen Erklärung Beispiele (Zahlentheorie)

Wir behandeln allgemein das Modulo Rechnen, Z modulo n, das Rechnen in Restklassenringen und die Division mit Rest. Es geht um folgende Äquivalenzrelation bei Z/nZ, Z/n: Sei n eine natürliche Zahl, zwei ganze Zahlen a und b stehen in Relation, falls a-b durch n teilbar ist, d. h. a und b haben durch n den selben Rest. Somit zerfällt Z in die Klassen von 0 bis n-1, da nur diese Reste möglich sind. Man sagt auch: „a ist kongruent (lat. congruens „übereinstimmend“) zu b modulo n“. Beispiele: In Z/4Z gilt: [3]=[7], da die den selben Rest, nämlich 3, durch 4 haben; [2]+[3]=[5]=[1] In Z/7Z gilt: [-2]=[5]; [5]*[3]=[15] Diese Struktur gibt einen kommutativen Ring mit 1 und es gilt: Z/nZ ist genau dann ein Körper, falls n eine Primzahl ist. Beweis hierfür:    • Modulo p Körper Primzahl (genau dann wenn)...   Inverse finden wir in Z/nZ mit dem Euklidischen Algorithmus für ein Element [m], falls m und n teilerfremd sind, dann nach dem Lemma von Bézout: es gibt ganze Zahlen a und b, so dass 1=ggT(m,n)=a*m+b*n und in modulo n wird b*n zu 0, also ist [a] das Inverse zu [m]. D. h. falls n eine Primzahl ist, so existieren immer Inverse, da Z/nZ ein Körper ist und jedes Element von 0 bis n-1 teilerfremd zu n ist. Schöne, einfache und sehr coole Anwendung vom Modulo Rechnen: Eine ganze Zahl ist genau dann durch 3/9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3/9 teilbar ist (diese Frage mit der Teilbarkeit durch 9 kam bei Wer wird Millionär?):    • "Wer wird Millionär" Beweis zur Frage bzgl...   Teilbarkeitsproben - allgemeine Erklärung und Übungen:    • Teilbarkeitsproben - Erklärung & Übung | E...   Mathematik, Analysis, Algebra, Lineare Algebra, Modulo, Z modulo n, Modulo Rechnen, Restklassenringe, Division mit Rest, ganze Zahlen, natürliche Zahl, Relation, Äquivalenzrelation, kongruent, Klasse, Äquivalenzklasse, Ring, Körper, prim, Primzahl, ggT, Euklidischer Algorithmus, Algorithmus, Lemma, Bézout, Übung, Tutorium, Erklärung, einfach, Beispiele, Inverse, bestimmen, berechnen, Gleichung, Gleichungen, Beispiel, Lösung, Beweis, Klausur, Prüfung, Staatsexamen, Rest, teilerfremd