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Dai razionali ai reali

Video progettato e realizzato per il corso di "Didattica della Matematica 1" dell'Università di Torino tenuto dalla prof.ssa Ornella Robutti, anno accademico 2019/2020. Contesto: quotidiano, analitico, rivolto a un pubblico del terzo anno di scuola secondaria di primo grado. Strumenti: ● In casa: un foglio e un metro. ● POV-Ray come software di modellizzazione matematica e realizzazione di materiale multimediale. Obiettivi: ● Imparare a distinguere i numeri razionali da quelli irrazionali. ● Acquisire un’idea intuitiva della costruzione di Dedekind dei numeri irrazionali. ● Riuscire a visualizzare i numeri reali sulla retta. Nodi concettuali: grandezze incommensurabili, insiemi Q e R. Metodologia:  Attraverso un caso specifico si mostra l’esistenza dei numeri irrazionali e si procede alla loro definizione visualizzandoli sulla retta. Descrizione dell’attività: Prima fase: Luigi mostra a Miriam l’intenzione di piastrellare perfettamente il pavimento della propria stanza attraverso piastrelle quadrate, supponendo erroneamente che ciò sia sempre possibile ovvero ignorando l’esistenza di rettangoli con lati incommensurabili. Seconda fase: Per dimostrare che ciò non si possa sempre fare, si mostra mediante l’uso di due fogli di formato A4 che, accostandoli e sfruttando la loro proprietà – vale a dire che disponendoli lungo il lato maggiore si ottiene un formato di area doppio con uguali proporzionali tra i lati – che il rapporto tra i lati del foglio sia la radice quadrata di 2. Si osserva che non tutti numeri sono esprimibili come frazioni, poiché esistono dei numeri decimali infiniti non periodici, detti numeri irrazionali, e che quindi esiste un insieme che contiene sia i numeri razionali che quelli irrazionali. Terza fase: Si procede a visualizzare la retta numerica, e si dà una stima approssimata della posizione di radice quadrata di 2 su di essa. In questo modo viene messa in atto una costruzione intuitiva delle sezioni di Dedekind (pur non citandole esplicitamente) mostrando come ciascun numero reale, dunque anche irrazionale, possa essere visto come punto di convergenza da sinistra e da destra di due successioni di numeri decimali finiti mediante arrotondamenti per difetto e per eccesso sempre migliori. Le animazioni della retta sono realizzate con un programma di computer grafica, ma lo studente può ripetere il procedimento con carta e matita. Riferimenti alle indicazioni nazionali: Scuole secondarie di primo grado. Lo studente acquisirà le seguenti competenze: ● Essere a conoscenza del fatto che esistono numeri che non si possono scrivere come frazioni, ovvero come rapporto tra due numeri interi. ● Dare stime della radice quadrata utilizzando solo la moltiplicazione. ● Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta.