v5.0.1.0.1 (Höher) Kategorien - Axiome für Kategorien скачать в хорошем качестве

v5.0.1.0.1 (Höher) Kategorien - Axiome für Kategorien

(Höhere Grundlagen) Der Begriff Kategorie ist eine metaabstrakte Konstruktion, die die Gemeinsamkeiten der ohnehin schon sehr abstrakten Begriffe wie Gruppe, Ring, R-Modul, topologischer Raum usw. mit einer gemeinsamen Sprache, Struktur und Theorie beschreibt. Es ist ein Weg, den Begriff "mathematische Struktur" mathematisch exakt zu definieren. Gemeinsamkeiten sind z.B. Objekte, Homomorphismen, Unter- und Quotienten-Objekte, Produkt, Kern, Isomorphismus, Pull-out, induktiver Limes und universelle Konstruktionen. Kategorientheorie kann ganz ohne Mengenlehre, also losgelöst von ZFC, aufgebaut werden und kann dann selber als Grundlage der Mathematik dienen. Oder Kategorien sind bestimmte Klassen oder Mengen innerhalb von ZFC. Eine Kategorie kann sein • Ein elementares Objekt der Kategorientheorie • Ein elementares Objekt einer mit ZFC konkurrierenden Grundlage der Mathematik • Eine Klasse in ZFC von strukturähnlichen Objekten, wie Gruppe, Ring, R-Modul, topologischer Vektorraum • Eine bestimmte Menge von strukturähnlichen Objekten Die Intuition kann je nach Sichtweise sein: Kategorien sind … • Strukturen mit Homomorphismen zwischen ihnen, die so was ähnliches wie Funktionen sind • Gerichtete Graphen mit den Objekten als Knoten und den Homomorphismen als Kanten und bestimmten Verknüpfungseingenschaften von Kanten. • Algebraische Strukturen, in denen ich mit den Elementen (den Homomorphismen) rechnen kann, wo wir aber im Allgemeinen nicht alle Elemente miteinander verknüpfen können. Ein Universum ist eine Menge oder Klasse, die alles enthält, was wir brauchen, und die abgeschlossen gegenüber allen im jeweiligen Kontext notwendigen Operationen ist. Eine kleine Menge ist ein Element dieses Universums (von denen wir eins festlegen, meist ohne es genau zu benennen). Eine kleine Gruppe ist ein Gruppe, deren Menge von Elementen klein ist. Mit derselben Art von Intuition, nach der Klassen größer als Mengen sind, bilden wir folgende Begriffe (von klein nach groß): eine Kategorie ist … • Klein: die Kollektion Objekte und die der Homomorphismen bilden zwei kleine Mengen. • Groß: die Objekte und die Mengen der Homomorphismen zwischen zwei Objekten (Hom-Mengen) sind klein. • Mengen: Objekte und die Hom-Mengen sind Mengen. • Klassen: Objekte oder die Hom-Mengen sind Klassen. • Abstrakt: Wir abstrahieren von möglichen Modellen für Objekte und Hom-Mengen in ZFC. Diese Bezeichnungen sind nicht standardisiert. In "Categories for the Working Mathematician" (CWM) heißen Klassen- und abstrakte Kategorien "Metakategorien". Damit ist die Kollektion aller Gruppen eine Klassen-Kategorie (CWM: Metakategorie). Grp in CWM ist eine große Kategorie, das heißt, sie enthält nur kleine Gruppen. Präsentiert von Jörg Kunze. Voraussetzungen: Grundkenntnisse des Bachelor und Masterstudiums der Mathematik Meine Videos: Quellen: https://de.wikipedia.org/wiki/Morphismus https://de.wikipedia.org/wiki/Kategor... https://de.wikipedia.org/wiki/Grundmenge https://en.wikipedia.org/wiki/Univers...) https://ncatlab.org/nlab/show/universe https://ncatlab.org/nlab/show/large+c... https://ncatlab.org/nlab/show/small+c... https://ncatlab.org/nlab/show/category Buch: "Categories for the Working Mathematician" Saunders Mac Lane 1998 | 2nd ed. 1978 Springer-Verlag New York Inc. 978-0-387-98403-2 (ISBN) https://www.amazon.de/Categories-Work...