Neba Polneau (doctorant IMJ-SU) - Equations de Schrödinger non-linéaires en une dimension d’espace скачать в хорошем качестве

Neba Polneau (doctorant IMJ-SU) - Equations de Schrödinger non-linéaires en une dimension d’espace

Les équations de Schrödinger appartiennent à la famille des équations dispersives, dont la particularité est que les paquets d'ondes se propagent à des vitesses dépendant de leur fréquence. Ce phénomène de dispersion a des effets profonds sur le comportement en temps des solutions, et constituera le fil conducteur de l'exposé. Dans une première partie, nous nous concentrerons sur le cas linéaire. Nous y expliquerons le mécanisme de dispersion et ses conséquences sur la décroissance en temps des solutions, en mettant en évidence les estimées fondamentales qui en découlent. Dans une seconde partie, nous passerons aux modèles non-linéaires. Si le temps le permet, nous étudierons le comportement en temps long de « petites » solutions dont les données initiales appartiennent à un espace de Sobolev à poids. Nous introduirons la notion de scattering pour les équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrit, en substance, le fait qu'une solution non-linéaire se comporte asymptotiquement comme une solution linéaire.