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Un metodo euristico per risolvere un problema complesso di raccordo

Data la circonferenza di centro O e raggio r assegnati, dato un punto A qualsiasi e infine data una retta s qualsiasi, il problema consiste nel determinare, qualora esistano, due circonferenze tangenti alla circonferenza data (di centro O e raggio r), i cui centri O1 e O2 appartengano alla retta s assegnata. Per risolvere questo problema ho utilizzato un approccio euristico, avvalendomi del programma di geometria dinamica GeoGebra, che permette di verificare in modo empirico l’intero spettro delle soluzioni, quindi anche quelle configurazioni particolari che vedono le due soluzioni coincidere in un'unica soluzione. La considerazione su cui si basa l’intuizione che mi ha portato alla soluzione è consistita nell’osservare che per ciascuna circonferenza tangente alla circonferenza doveva necessariamente risultare un triangolo isoscele costruito sulla corda che va dal punto A al punto di tangenza T1 (la base del triangolo isoscele) al centro O1 della circonferenza tangente. Inoltre, l’asse di questa corda, cioè l’asse del segmento di vertici A e T1, sarebbe stato un raggio di questa circonferenza tangente. Si conclude che il centro O1 è l’intersezione di questo asse con la retta s. Partendo da questa osservazione, ho studiato il movimento di tale asse al variare di un punto P preso a piacere sulla circonferenza data. Mantenendo fisso A, e facendo variare P, l’asse del segmento AP descrive una conica per involuzione, nello specifico un’iperbole. Con geogebra questo lo osserviamo in modo euristico spuntando l’opzione “mostra traccia”. Quindi al varare della sua posizione, l’asse del segmento AP descrive un area il cui contorno rappresenta la forma di un’iperbole. Ho quindi notato che i punti di intersezione tra questa iperbole e la retta s rappresentavano i centri O1 e O2 delle due circonferenze tangenti cercate. Guardate il video per scoprire il resto