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Flächen zwischen Graphen || StrandMathe || Oberstufe ★ Übung 2

Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ Flächen zwischen Graphen Um die Fläche zwischen zwei Funktionen zu bestimmen, müssen die Integrale der einzelnen Funktionen miteinander verrechnet werden. Dabei ist ebenfalls die Vorzeichenregelung bei Integralen zu berücksichtigen. Betrachtet man ein Intervall [a; b], so wird die Funktion mit den niedrigeren Funktionswerten von der mit den höheren subtrahiert. Der Gesamtflächeninhalt zwischen den Funktionen ergibt sich also aus der logischen Verrechnung der Teilintegrale: Der erste Summand beschreibt die Fläche der Funktion f(x) oberhalb der x-Achse. Der zweite ist der Teil der Funktion g(x), welcher sich unterhalb der x-Achse befindet. Dieser soll zum ersten Integral addiert werden, dabei muss jedoch ein Vorzeichenwechsel vorgenommen werden. Als Letztes wird nun der positive Teil des Integrals von g(x) subtrahiert. Berechne die eingeschlossene Fläche zwischen den beiden Funktionen f(x)=x+2 und g(x)=x^2-4. Erstelle dir hierfür zunächst eine Übersichtsskizze. Die Funktion f(x) ist eine Gerade, bei g(x) handelt es sich um eine nach unten verschobene Normalparabel. Beides kannst du ziemlich leicht in einer Skizze darstellen, notfalls nimmst du die Graph-Funktion deines Taschenrechners zur Hilfe (z.B. bei schwierigeren Funktionen) und verschaffst dir so einen Überblick. In der Graphik erkennst du die Lage der beiden Funktionen zueinander. Die Fläche zwischen den Funktionen, die berechnet werden soll, ist rot markiert. Nun musst du dir genau überlegen, wie sich die eingeschlossene Fläche am besten unterteilen lässt. Dafür musst du dich insbesondere mit der Vorzeichenregelung bei der Berechnung von Integralen für Flächeninhalte (s. vorherige Kapitel) auskennen. Man erkennt mit etwas Übung schnell, dass sich die oben rot eingefärbte Fläche aus Fläche I und Fläche II zusammensetzt. Da sich jedoch Fläche I nicht unmittelbar als Integral bestimmen lässt, muss noch Fläche III abgezogen werden. Dies wird bei der eigentlichen Berechnung noch deutlich. Bevor das Ganze in Form von Integralen notiert wird, müssen die Schnittpunkte der beiden Funktionen sowie die Nullstelle der Parabel bestimmt werden. Diese werden für die Intervallgrenzen benötigt. Für die Schnittpunkte werden einfach beide Funktionen gleichgesetzt und nach x freigestellt: Mit Hilfe der Graphik lässt sich ebenfalls bestätigen, dass die Schnittstellen bei x_S1=3 und x_S2=-2 liegen. Die Nullstellen der Parabel liegen (aus Symmetriegründen) bei x_0. Es folgt die Aufstellung der Integrale mit den entsprechenden Grenzen: Hier siehst du, dass das blaue Integral eigentlich auch die rote Fläche mit beinhaltet, weswegen eben dieses rote Integral am Ende der Gleichung noch subtrahiert wird. Das grüne Integral versehen wir mit einem negativen Vorzeichen, um es als positive Fläche in die Berechnung einfließen zu lassen. Abschließend folgt die Berechnung der Integrale durch Bestimmung der Stammfunktionen und Einsetzen der Intervallgrenzen: „Es gibt verschiedene Möglichkeiten, solche Flächen zu berechnen. Wichtig ist es, sich vorher einen Überblick zu verschaffen und auf die Vorzeichen bei der Integralrechnung zu achten.“ Kostet nichts - Hilft Dir bei allen Themen: http://www.strandmathe.de Facebook:   / strandmathe   Instagram:   / strandmathe   Twitter:   / strandmathe