Wendepunkt und Sattelpunkt - Kurvendiskussion || Oberstufe ★ Übung 1 скачать в хорошем качестве

Wendepunkt und Sattelpunkt - Kurvendiskussion || Oberstufe ★ Übung 1

Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ Eine Funktion ist linksgekrümmt (konvex), wenn die 1. Ableitung streng monoton steigend verläuft, also f‘‘(x) 0 gilt. Sie ist dann rechtsgekrümmt (konkav), wenn die 1. Ableitung streng monoton fällt, sich also f‘‘(x) 0 ergibt. Der Wendepunkt ist im Funktionsgraphen genau der Punkt, in dem die Krümmung wechselt. Zur Bestimmung einer Wendestelle x_w dient die 2. Ableitung als notwendiges und die 3. Ableitung als hinreichendes Kriterium: f^'' (x_w )=0 und f^''' (x_w )≠0 Für einen Sattelpunkt muss zusätzlich gelten: f^' (x_w )=0 Bestimme Wende- und Sattelstellen der Funktion f(x)=1/4 x^4-1,5x^2-2x . Da wir bereits wissen, dass zur Bestimmung entsprechender Punkte die 2. und 3. Ableitung benötigt wird, bildet man diese zunächst: f^' (x)=x^3-3x-2 f^'' (x)=3x^2-3 f^''' (x)=6x Um die Wende- und Sattelstellen zu bestimmen, setzen wir die 2. Ableitung gleich null und bestimmen die Lösung. 0=3x_w^2-3 |+3 3=3x_w^2 |∶3 1=x_w^2 |±√ x_(w;1/2)=±√1=±1 Folglich befindet sich eine Wendestelle bei x_(w;1)=1 und die zweite bei x_(w;2)=-1 . Ob in beiden Fällen das hinreichende Kriterium (f^''' (x_W)≠0) erfüllt wird, überprüfen wir durch Einsetzen der Werte in die 3. Ableitung: f^''' (x_(w;1) )=6∙1=6 und f^''' (x_(w;2) )=6∙(-1)=-6 Somit sind beide Stellen „echte“ Wende- bzw. Sattelstellen. Die Differenzierung, ob Wende- oder Sattelstelle vorliegt, erfolgt durch Betrachtung der 1. Ableitung. Diese nimmt bei einer Wendestelle einen beliebigen Zahlenwert an, ein Sattelpunkt jedoch ist dadurch gekennzeichnet, dass die 1. Ableitung null wird. Der Sattelpunkt ist nämlich als Mischung aus Wende- und Extrempunkt zu verstehen. Die 1. Ableitung liefert hier folgende Werte: f^' (x_(w;1) )=1^3-3∙1-2=-4 und f^' (x_(w;2) )=(-1)^3-3∙(-1)-2=0 Die zweite Wendestelle ist demnach eine Sattelstelle. Nun wollen wir aber auch wissen, welche konkreten Punkte Pw;1(xw;1;f(xw;1)) und Pw;2(xw;2;f(xw;2)) sich ergeben. Hierzu setzt du einfach die berechneten Stellen xw;1 und xw;2 in die Ausgangsfunktion ein und notierst dir die Funktionswerte, die sich daraus ergeben. Hier f(-1) = 0,75 und f(1) = -3,25, somit Pw;1(-1 ; 0,75) und Pw;2(1 ; -3,25). Wodurch zeichnen sich die beiden Punkte noch aus? In der Grafik kann man sehen, dass die Krümmung der Funktion genau in diesen beiden Punkten wechselt. Daher spricht man allgemein von einer Wendestelle. Die Sattelstelle ist hierbei ein Sonderfall. Die Richtung der Krümmung kannst du ganz leicht bestimmen, indem du dir vorstellst, mit deinem Fahrrad die Kurve abzufahren. Wenn du den Lenker dabei gedanklich nach links richtest, ist sie linksgekrümmt. Bei der Rechtskrümmung umgekehrt. An der Wendestelle ist der Lenker gerade gerichtet. Trainer: „Du solltest den Unterschied zwischen Wende- und Sattelpunkt nachvollziehen können. Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt.“ 1. Bestimme in dem Graphen die Intervalle mit konvexer und konkaver Krümmung. Bestimme außerdem Wende- und Sattelstellen. 2. Berechne Wende- und Sattelpunkte der Funktion f(x)=1/4 x^4-2/3 x^3-1 . Skizziere anschließend den Graphen von f(x) unter Berücksichtigung des Globalverlaufes sowie möglicher Extrempunkte und markiere die berechneten Stellen. 3. Gegeben sei die Funktion f(x)=x^4+ax^3+bx^2 . Welche Werte müssen die Parameter a und b annehmen, damit entweder zwei Wendepunkte vorliegen oder ein Wendepunkt und ein Sattelpunkt? Facebook:   / strandmathe   Instagram:   / strandmathe   Twitter:   / strandmathe