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Complejos simpliciales | Homología, misión 2

La geometría nos es muy natural a los humanos, ¿pero cómo le enseñamos una figura geométrica a un ordenador? Hoy conocemos a los complejos simpliciales, una codificación de la geometría con símbolos, y la herramienta básica de la homología simplicial. #matemáticas #divulgacion #ciencia #topology ------------------------------------ NOTAS AL PIE: [1] Especificar un orden de los vértices es, básicamente, darle una orientación al segmento. La mayoría de variantes de homología sí juegan con una noción de orientación, pero la variante que he escogido yo ha sido seleccionada precisamente porque no tiene en cuenta orientaciones, para hacerlo todo un poco más fácil. Pero no suele ser la norma, ¡si quieres estudiar homología seriamente, tendrás que familiarizarte con las orientaciones! [2] Por ahora, esto es lo mismo que un grafo donde los vértices son puntos en algún espacio euclídeo. Esto ya te puede dar una pista de lo que es un complejo simplicial abstracto: tenemos un conjunto de vértices V, y en vez de una colección de aristas, que serían subconjuntos de tamaño 2 de V, tenemos una colección de *símplices*, que son simplemente subconjuntos finitos de V. Eso sí, esta colección de subconjuntos tiene que cumplir una condición adicional, ¡atento a la siguiente nota! [3] La condición adicional impuesta en la definición de un complejo simplicial abstracto C es que si A es un subconjunto de V que pertenece a C, entonces todo subconjunto no vacío de A también está en C. Tampoco es que sea excesivamente importante, pero tiene sentido si lo piensas como una generalización de un grafo: al igual que toda arista tiene que ir de un vértice a otro, tiene sentido que un triángulo “barra” toda una zona delimitada por tres aristas. [4] Igual te preocupa la no unicidad de la triangulación, es decir, que se puede hacer de muchas formas. Por suerte, hay un teorema (nada fácil de probar) que dice que, salvo isomorfismo, la homología simplicial al final solo depende del espacio subyacente que estés representando con tu complejo simplicial, ¡no del complejo en sí! Vamos, que dos triangulaciones del mismo espacio subyacente te van a dar resultados isomorfos en cuanto a homología. [5] La homología simplicial es la más fácil de las variantes de homología, pero el precio a pagar por su sencillez es que tan solo es aplicable a espacios homeomorfos a complejos simpliciales geométricos (que defino a continuación en el vídeo y en la siguiente nota de manera más formal). Para espacios que no sean homeomorfos a ellos, hay otras variantes de homología más acertadas, la homología singular, por ejemplo. [6] Vamos con una definición más formal de esto. Un símplice de dimensión n puede definirse de varias formas equivalentes. Una es como la clausura convexa de n+1 puntos afínmente independientes en algún espacio euclídeo de dimensión igual o mayor a n (esto es, los n+1 puntos generan un n-hiperplano). Otra es como las combinaciones lineales de esos mismos puntos para las cuales la suma de todos los coeficientes es igual a 1 (combinaciones convexas). Una cara de un símplice S es cualquier otro símplice T generado por todos los puntos que generan S excepto uno (un tetraedro tiene triángulos por caras, un triángulo, lados...). Un complejo simplicial geométrico K es una familia de símplices en un mismo espacio euclídeo y que cumple dos condiciones: toda cara de un símplice de K está a su vez en K, y la intersección de dos símplices de K es, o bien vacía, o bien de nuevo un símplice en K. Esta última restricción está reflejada en el vídeo en cómo tratábamos las líneas que se intersecaban: si se tocan dos segmentos, solo pueden hacerlo uniéndose por sus extremos. La unión de todos los símplices de K dotada de la topología heredada del espacio euclídeo en el que se encuentran se denota |K|, y se llama la realización geométrica del complejo simplicial, politopo, o espacio subyacente. Yo no hago distinciones en estos vídeos entre K y |K| por no complicar las cosas. ------------------------------------ CAPÍTULOS: 00:00 Los ordenadores no ven 01:24 Codificar puntos 02:06 Codificar segmentos 03:29 Codificar triángulos 04:35 Problemas con cuadriláteros 06:46 Triangulación 07:11 La tercera dimensión (y más allá) 07:54 Codificar curvas 09:56 Definiciones 10:50 ¿No falta algo...? 12:38 Conclusión y cierre ------------------------------------ REFERENCIAS Y MATERIAL RELACIONADO: Introduction to Persistent Homology -- Žiga Virk Elements of Algebraic Topology -- James Munkres ------------------------------------ MÚSICA: Introducción y cierre: Funky Suspense -- Benjamin Tissot Music: bensound.com License code: A4MXYUYVCDNTZJAA Grueso del vídeo: The Lounge -- Benjamin Tissot Music by: Bensound.com/royalty-free-music License code: NWWVXWJSV44H51CA Tema de la entradilla "Homología: cazadora de agujeros" compuesto por mí.