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Fórmula de Euler

Por que as funções trigonométricas aparecem na fórmula de Euler? Essa foi a pergunta que me fiz quando vi a fórmula de Euler pela primeira vez. Essa conexão entre trigonometria e expoentes parece tão inesperada, especialmente quando se trata de números complexos. Para responder a essa pergunta, precisamos explorar a intrigada e bela relação matemática entre as funções trigonométricas, o expoente e os números complexos. Analisaremos duas abordagens diferentes: uma utilizando dinâmica, geometria e o plano complexo, e a outra utilizando as séries de Taylor e Maclaurin. Ambas são igualmente fascinantes e ambas chegam ao mesmo resultado surpreendente por meio de muita matemática elegante.