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SOMME ET PRODUIT - APPLICATION 1

Il existe une relation entre les coefficients d'un trinôme de degré deux et la Somme et le Produit des racines de ce trinôme. Ses propriétés permettent de trouver la valeur des racines souvent plus simplement et plus rapidement que la méthode classique. Elle a une utilité pratique pour vérifier la justesse de nos calculs, ou résoudre des systèmes d'équations. Nous nous plaçons, comme dans tous les cours sur les polynômes, dans le cas où les racines sont des nombres réels. Si l'on connaît la somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré Q(x)=ax^2+bx+c avec a≠0 Q(x)=ax^2+bx+c avec a≠0 alors ces racines sont aussi les racines du polynôme R(x)=x^2−Sx+P R(x)=x^2−Sx+P On montre que S=−b/a et P=c/a Détaillons ce théorème pour bien comprendre ce qu'il nous apporte. Le polynôme a des racines réelles donc cela veut dire que le discriminant de Q(x) est supérieur ou égal à zéro (Δ≥0). Nous appellerons les racines de Q(x)Q : x1 et x2. Elles peuvent être égales. La somme des racines est S=x1+x2 Le produit des racines est P=x1x2 Le théorème nous affirme que x1 et x2 sont aussi les racines d'un polynôme R(x) formé avec S et P tel que R(x)=x^2−Sx+P Même sans connaître les racines nous sommes capables de calculer S et P à partir des coefficients du polynôme de départ Q(x). Les relations entre les racines, leur Somme, leur Produit, et les Coefficients du polynôme s'appelle : Relations de Viète pour le degré 2. Du nom de François Viète, mathématicien français du 16ème siècle. Il existe un autre théorème nécessaire pour résoudre certains systèmes non linéaires simples.