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Weibull-Verteilung am Beispiel des Wöhlerversuchs (Überlebens-/Ausfall-/Zuverlässigkeitsanalyse)

Die Weibull-Verteilung wird häufig zur Fehleranalyse genutzt, um das Versagen mechanischer oder elektronischer Komponenten zu beschreiben. Im Wöhlerversuch wird die Belastbarkeit von Werkstoffen untersucht, indem Proben wechselnder Zug- und Druckbeanspruchung ausgesetzt werden. Die Anzahl der Lastspiele bis zum Bruch variiert aufgrund von Materialstreuungen. Die Ergebnisse werden statistisch ausgewertet, um eine Vorhersage zur Lebensdauer zu ermöglichen. Die kumulative Häufigkeit beschreibt, wie viele Proben bis zu einer bestimmten Lastspielzahl gebrochen sind, während ein Histogramm die Häufigkeit der Brüche in bestimmten Lastspielintervallen zeigt. Die Weibull-Verteilung modelliert die Lebensdauer von Komponenten mathematisch. Sie wird durch den Formparameter k und den Skalenparameter T beschrieben. Der Formparameter bestimmt die Kurvenform, während der Skalenparameter die Lage der Verteilung beeinflusst. Die Bruchwahrscheinlichkeit einer Probe kann mit der Weibull-Verteilungsfunktion berechnet werden. Dabei entspricht der Skalenparameter der Lastspielzahl, bei der 63,2 % der Proben versagt haben. Zur Bestimmung der Verteilungsparameter werden die experimentellen Daten in ein Weibull-Netz übertragen, sodass eine lineare Darstellung entsteht. Die Steigung der resultierenden Geraden entspricht dem Formparameter, während der Achsenabschnitt zur Berechnung des Skalenparameters genutzt wird. Die Weibull-Verteilung erlaubt die Berechnung der mittleren Zeit bis zum Ausfall, die durch den Erwartungswert der Verteilung bestimmt wird. Zusätzlich wird die Standardabweichung als Maß für die Streuung der Daten berechnet. Die Überlebenswahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der eine Komponente eine bestimmte Zeit ohne Ausfall übersteht. Die Ausfallrate gibt an, wie viele Proben pro Zeiteinheit versagen, wobei zwischen absoluter und relativer Ausfallrate unterschieden wird. Die relative Ausfallrate bezieht sich auf die noch funktionsfähigen Proben und steigt mit zunehmender Betriebsdauer. Die Weibull-Verteilung kann unterschiedliche Ausfallverhalten modellieren. Bei k kleiner 1 nimmt die Ausfallrate ab, während sie bei k größer 1 mit der Zeit steigt. Ein Spezialfall ist die Badewannenkurve, die drei Phasen der Lebensdauer beschreibt: eine Phase hoher Anfangsausfälle, eine Phase mit konstanter Ausfallrate und eine Phase mit steigender Ausfallrate aufgrund von Verschleiß. Eine Anpassung der Weibull-Funktion erlaubt es, eine ausfallfreie Zeit zu berücksichtigen, etwa bei Bauteilen, die zunächst nur verschleißen, bevor ein Versagen eintritt. 00:00 Dauerschwingversuch 02:31 Kumulative Häufigkeit 04:24 Häufigkeitsverteilung (Histogramm) 05:31 Zusammenhang zwischen Häufigkeit und kumulativer Häufigkeit 06:08 Relative Häufigkeit 07:11 Wahrscheinlichkeit 07:54 Korrigierte Wahrscheinlichkeit (Grundgesamtheit und Stichprobe) 11:12 Weibull-Verteilung 13:29 Bestimmung der Wahrscheinlichkeit 15:24 Bestimmung des Weibull-Moduls und des Skalenparameters 17:29 Auswertung der Daten (Weibull-Netz) 20:14 Charakteristische Lebensdauer 21:02 Weibull-Funktion der Verteilungsdichte 22:44 Mittlere Zeit bis zum Ausfall (empirischer Erwartungswert) 23:46 Stichprobenvarianz (empirische Standardabweichung) 25:00 Erwartungswert und Standardabweichung 26:02 Überlebenswahrscheinlichkeit (Zuverlässigkeit) 27:57 Absolute Ausfallrate (Fehlerrate) 29:27 Relative Ausfallrate 31:38 Herleitung der Ausfallrate 34:18 Ausgewählte Weibull-Verteilungen im Vergleich 35:27 Badewannenkurve 37:23 Weibull-Verteilung mit ausfallfreier Zeit