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Exercício 2.2 - Espaços Métricos Elon Lages Lima

O objetivo do exercício é mostrar que essa desigualdade não é apenas válida no ponto a, mas que ela permanece verdadeira em uma vizinhança inteira de a. Mais precisamente, pede-se provar que existe uma bola aberta centrada em a tal que, para todo ponto dessa bola, as imagens por f e g são diferentes. Em termos equivalentes, o exercício afirma que é possível encontrar uma vizinhança de a cuja imagem por f não intersecta a imagem pela função g. A ideia central do exercício é usar o fato de que, em um espaço métrico, dois pontos distintos possuem distância positiva. A partir dessa separação no espaço de chegada, a continuidade das funções permite controlar o comportamento de f e g em pontos suficientemente próximos de a, garantindo que suas imagens permaneçam separadas. Assim, o exercício explora diretamente a definição de continuidade e a noção de bolas abertas, mostrando como propriedades locais no contradomínio se refletem em propriedades locais no domínio. Esse exercício desempenha um papel estrutural importante no capítulo, pois serve como ferramenta básica para resultados posteriores. Em particular, ele é essencial para provar que o conjunto dos pontos onde duas funções contínuas coincidem é um conjunto fechado, e para estabelecer que funções contínuas são completamente determinadas por seus valores em subconjuntos densos do domínio. Dessa forma, o exercício conecta continuidade, topologia métrica e argumentos de separação de conjuntos, sendo um passo fundamental na construção da teoria. 🔖 Referência ELON LAGES LIMA — Espaços Métricos, Capítulo 2, Exercício 2. 6° edição Tags #espaco #analisereal #analise #topologia #espacometrico #matematica #educacao #universidade #faculdade #provlemasresolvidos #quantumdeconhecimento