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1999年の東京大学・理系数学(第6問)から、指数関数と三角関数が組み合わさった積分の問題を紹介します。 訂正: すみませんが、イントロの部分で出てくる誤差の積分表示x→aとなっていて逆です。正しくはa→x です。導ける結論は変わりません。 この問題は、積分をきちんと計算すれば「指数関数の値に比例する形」にまとまります。 多くの解説では 部分積分を使って処理しますが、今回の動画ではあえて違うアプローチを採用しました。 最初のステップは積分の整理。三角関数の公式を使って分けると、問題は「指数関数そのものの積分」と「指数関数と三角関数の掛け算の積分」に帰着します。 ここで オイラーの公式を使うと、複雑に見える積分がすっきりとまとまり、最終的に「指数関数の値に比例する形」まで計算できます。 次の焦点は「その答えが 8 より大きい」ことの証明。 ここで活躍するのが 近似の考え方です。指数関数は下に凸なので、接線近似(一時近似)や二次近似を使うと真の値を下から評価できます。実際に 3 を基準に近似すると、指数関数の値が 22 を超えることが分かり、積分全体も確実に 8 を上回ることが示せます。 別解の面白さとともに味わってください。 🎵 Music Mewmore // Puzzle Deductions (Professor Layton and the Last Specter Remix) ▶️ • Mewmore // Puzzle Deductions (Professor La... (Used with permission — free to use with credit) Mewmore: / @mewmore #8番出口