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Herleitung des Übersetzungsverhältnisses für Planetengetriebe | Willis-Gleichung | Umlaufgetriebe

Die Willis-Gleichung beschreibt die Bewegung innerhalb eines Planetengetriebes und ermöglicht die Berechnung von Übersetzungsverhältnissen. Sie basiert auf der Überlagerung dreier Bewegungen: der Rotation des Trägers um das Sonnenrad, der Eigenrotation des Planetenrads und der Drehung des Sonnenrads. Zunächst wird die Bewegung des Trägers um das Sonnenrad betrachtet, wobei sich das Planetenrad mit ihm bewegt. Anschließend wird die Eigenrotation des Planetenrads analysiert, da es auf dem Sonnenrad abrollt und sich zusätzlich dreht. Schließlich wird der Einfluss der Rotation des Sonnenrads auf das Planetenrad untersucht. Die mathematische Herleitung der Willis-Gleichung basiert auf der Analyse dieser einzelnen Bewegungen, ihrer Winkelgeschwindigkeiten und der Verzahnung der Zahnräder. Die resultierende Gleichung definiert die Beziehung zwischen den Drehzahlen von Sonnenrad, Planetenrad und Träger. Sie kann auch anhand der Anzahl der Zähne der Zahnräder ausgedrückt werden. Angewandt auf konventionelle Planetengetriebe zeigt die Willis-Gleichung, wie die Bewegung der Planetenräder auf das Hohlrad übertragen wird. Die Geschwindigkeit am äußeren Punkt des Planetenrads entspricht der Umfangsgeschwindigkeit des Hohlrads, während die Geschwindigkeit am inneren Punkt der des Sonnenrads entspricht. Die Gleichung wird auf drei spezielle Fälle angewendet. Feststehendes Hohlrad – Das Sonnenrad ist der Eingang, der Träger der Ausgang. Das Übersetzungsverhältnis ist immer größer als 2. Feststehendes Sonnenrad – Das Hohlrad ist der Eingang, der Träger der Ausgang. Das Übersetzungsverhältnis liegt zwischen 1 und 2. Feststehender Träger – Das Sonnenrad ist der Eingang, das Hohlrad der Ausgang. Die Drehrichtung kehrt sich um. Die Willis-Gleichung ist entscheidend für die Analyse und Konstruktion von Planetengetrieben, da sie präzise Berechnungen der Drehzahlverhältnisse ermöglicht. 00:00 Umlaufgetriebe 01:10 Rotation des Steges um das Sonnenrad 02:29 Rotation des Planetenrades um den eigenen Schwerpunkt 03:46 Rotation des Sonnenrades 04:36 Superposition der Bewegungen 06:41 Willis-Gleichung angewendet auf Planetengetriebe 07:08 Geschwindigkeitsverhältnis von Planetenrad und Hohlrad 08:09 Geschwindigkeitsverhältnis von Planetenrad und Sonnenrad 08:32 Zusammenhang der Geschwindigkeiten von Planetenrad, Sonnenradund Hohlrad 10:00 Geschwindigkeitsverteilung 10:52 Willis-Gleichung für klassische Planetengetriebe 12:15 Übersetzungsverhältnis I: festgestelltes Hohlrad 13:26 Übersetzungsverhältnis II: festgestelltes Sonnenrad 14:09 Übersetzungsverhältnis II: festgestellter Steg