Знак гауссовой суммы // Владимир Успенский скачать в хорошем качестве

Знак гауссовой суммы // Владимир Успенский

Для нечетного m пусть S_m=Σ_{x=0}^{m–1} cos⁡(2π/m)x^2, если m имеет вид 4k+1, и S_m=Σ_{x=0}^{m–1} sin⁡(2π/m)x^2, если m=4k+3. Тогда (S_m)^2=m. Эту формулу нашел Гаусс, он использовал ee в одном из своих доказательств квадратичного закона взаимности. Лишь через несколько лет он сумел доказать, что сумма m всегда положительна, так что m рано квадратному корню из m. Гаусс записал в дневнике, что его озарение было подобно “вспышке молнии”. Позднее многие известные математики предложили свои доказательства. Одно из самых элегантных принадлежит Дирихле, оно использует ряды Фурье. Предполагается знакомство с понятием сравнения по модулю. Полезно (но необязательно) иметь представление о малой теореме Ферма и о квадратичных вычетах по простому модулю. Знакомства с рядами Фурье не предполагается, необходимые сведения будут сообщены. Успенский Владимир Владимирович Летняя школа «Современная математика», г. Дубна 23 июля 2005 г.