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Session math SG-GS complex 2024 Ex2

Session math complex SG-GS 2024 II- Nombres complexes (4 points) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O; u, ). On donne les points A(1), B(3), M(z) et M'(z') tels que z' = où z ± 1. 1) Déterminer la forme exponentielle de z' dans le cas où z = 1 + i. 2) Soit z = x+ iy et z' = x' + iy' où x, y, x' et y' sont des nombres réels. a) Montrer que x' b) Montrer que si M' se déplace sur la droite (D) d'équation y = x- 1, alors M se déplace sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon. 3) Pour tout z # 3 et z 1: a) Montrer que (z'- 1) (z-1) = z-3. b) Montrer que AM'= et (u; AM) = (u; BM) - (u; AM) + 2km où k € Z. c) Montrer que si M varie sur la droite (d) d'équation x = 2 alors M' varie sur un cercle à déterminer. d) Soit I le milieu de [AB]. Montrer que si ME [IB] alors M' E [OA]. II- Complex numbers (4 points) The complex plane is referred to an orthonormal system (O; u, v). Given the points A(1), B(3), M(z) and M'(z') such that z' = 22-4 1) Determine the exponential form of z' in the case where z = 1 +i. 2) Let z = x+ iy and z' = x'+ iy' where x, y, x' and y' are real numbers. 2x² +2y2 - 6x+4 2y a) Show that x' (x-1)2 + y2 and y (x-1)2 + y2 b) Show that if M'moves on the line (D) with equation y = x-1, then M moves on a circle whose center and radius are to be determined. For all z3 and z # 1: 3) a) Show that (z' - 1)(z - 1) = z-3. b) Show that AM'= and (1, AM) = (u,BM) - (u,AM) + 2krt where k € Z. c) Show that if M moves on the line (d) with equation x =2 then M' moves on a circle to be determined. d) Let I be the midpoint of [AB]. Show that if M E [IB] then M' e [OA]