Numerikus analízis 6. Spline interpoláció 7. Numerikus differenciálás 2023 скачать в хорошем качестве

Numerikus analízis 6. Spline interpoláció 7. Numerikus differenciálás 2023

Ez a videó egy egyetemi előadás felvétele a numerikus analízis témakörében, amely a spline interpolációt és a numerikus differenciálást tárgyalja részletesen. Főbb témakörök és összefoglaló 1. Spline interpoláció folytatása [01:08] A harmadrendű (kubikus) spline-ok azért népszerűek, mert a definíciójuk szerint kétszer folytonosan deriválható függvényt eredményeznek, ami vizuálisan is sima görbét ad [01:24]. Példa és alkalmazás: Egy kacsa körvonalán keresztül szemlélteti a különbséget a Lagrange-interpoláció (ami erősen oszcillál) és a spline-interpoláció között (ami pontosan követi a vonalat) [05:03]. Minimális görbület tétele: A természetes harmadrendű spline-nak van a legkisebb görbülete az összes interpoláló függvény közül [07:06]. Hiba becslése: A spline-interpoláció hibája a lépésköz negyedik hatványával (h 4 ) arányos, és nemcsak a függvényértékeket, hanem az első és második deriváltakat is jól közelíti [10:14]. 2. Numerikus differenciálás [14:13] A derivált közelítése a különbségi hányados segítségével történik. A videó két megközelítést mutat be: a Lagrange-módszert [15:38] és a Taylor-módszert [26:32]. Elsőrendű differenciák: Jobb- és baloldali differenciák, ahol a hiba a lépésközzel (h) arányos [21:48]. Másodrendű és magasabb rendű differenciák: Több alappont használatával pontosabb közelítések kaphatók. Centrális differencia: Szimmetrikusan, az adott ponttól balra és jobbra lévő értékeket használja fel, a hiba h 2 -tel arányos [36:54]. Második derivált közelítése: Taylor-sor segítségével vezetnek le egy centrális formulát a második derivált kiszámítására [44:07]. 3. Numerikus instabilitás [48:53] A numerikus deriválás instabil feladat: míg a függvényértékek kis eltérése elhanyagolható lehet, a deriváltak értéke jelentősen megváltozhat [49:06]. A kerekítési hibák hatása kritikus: ha a lépésközt (h) túlságosan kicsire választjuk, a hibatag csökkenése helyett a kerekítési hiba dominálhat és növelheti a végeredmény hibáját [53:15]. 4. Többváltozós függvények és kitekintés [54:08] A parciális deriváltak közelítésére is alkalmazhatóak a korábban bemutatott képletek. Az előadás végén a numerikus integrálás felé veszik az irányt, de ez a következő rész témája lesz a szünet után [54:58].