מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 56 - סכום ריבועים וניקומאכוס - הוכחה 13 - הרצפת הבעייה ובנייה אינדוקטיבית скачать в хорошем качестве

מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 56 - סכום ריבועים וניקומאכוס - הוכחה 13 - הרצפת הבעייה ובנייה אינדוקטיבית

אינפי 1 לאדיוטים פרק 1 (המספרים הממשיים) תת-פרק 6 (המספרים הטבעיים השלמים והרציונאליים ועקרון המינימום ועקרון האינדוקציה) חלק 33 בעצם אנחנו נחפש הרצפה לתכונות שקריטיות לנו כדי לחשב את הנוסחא לסכום ריבעים. קודם, מתבוננים באופן כללי בחזקות k במקום במקרה הפרטאי שלנו של ריבועים... התכונה הראשונה שקריטית לנו בהרצפה, זה שסכום עד הריבוע ה-0 מתאפס. התכונה השנייה שקריטית לנו היא שסכום עד x לעומת עד x-1 יתן בדיוק את ה"k-יה האחרונה בסכום" שהיא בעצם x^k כל זה טוב ויפה אם יכולנו למצוא פונקציה רציפה אנליטית שמקיימת את התכונות האלה. ננסה גישה אחרת. ננסה גישה שבה אנו מניחים שאנו מכירים פונקציה שמקיימת את התכונות האלה עבור חזקה k שממנה ננסה להשיג פונקצייה שמקיימת את התכונות האלה עבור חזקה k+1 הבאה בתור... כאילו, הרעיון הוא לבנות את הפונקצייה של החזקה הבאה מתוך הפונקציה של החזקה הקודמת. ע"י אינטואיציה שהוצגה בסרטון בפירוט מתקבל שפשוט יש לבצע אינטגרציה עם תיקון. כך מתקבל "מתכון בישול" שמבשל לנו את הפונקציה ה-k+1-ית מתוך הפונקציה ה-k-ית... המתכון - כדי לקבל את הנוסחא המורצפת של סכום החזקות ה-k+1-י (הפונקציה הבאה) אנו לוקחים את הנוסחא המורצפת של סכום החזקות ה-k-י (הפונקציה הנוכחית שכבר יודעים אותה...) ומבצעים לה אינטרגציה, ואז מכפילים אותה ב- 1 חלקי החזקה הבאה (זו שמעוניינים למצוא את סכום חזקותיה), קרי- (k+1)/(1) ומוסיפים c*x למה שהתקבל, ואת הקבוע x קובעים חישובית ע"י בדיקת הצבה של הסכום עם n=1 למשל... אח"כ הודגמה השיטה שהתחילה מחזקות k=0 הכי פשוטות שאפשר ללא מאמץ למצוא את הנוסחא המורצפת לסכום שלהן. משם הוסק הנוסחא המורצפת לסכום חשבוני. ע"י התמהיל שלעיל. ושוב, והנוסחא המורצפת לסכום חשבוני הוסקה הנוסחא המורצפת לסכום ריבועים. ע"H התמהיל כמובן... ומשם הוכחנו גם את נוסחת ניקומאכוס ע"י הנוסחא המורצפת שלו. ובזה סיימנו.