Az informatika logikai és algebrai alapjai 7 - Komplex Számok скачать в хорошем качестве

Az informatika logikai és algebrai alapjai 7 - Komplex Számok

Ez a több mint kétórás magyar nyelvű előadás a komplex számok témakörét járja körül, az alapvető definícióktól egészen a haladóbb ábrázolási módokig. Főbb témakörök és fejezetek: Bevezetés és motiváció [01:09]: Az előadó ismerteti, hogy a valós számok körében bizonyos egyenleteknek (pl. x 2 =−1) nincs megoldása. Bevezeti az i képzetes egységet, amelyre teljesül az i 2 =−1 azonosság. Említést tesz Bolyai János szerepéről is az absztrakció elfogadásában [01:39]. A komplex szám fogalma [05:46]: Definíció szerint a komplex számok a+bi alakú kifejezések, ahol a és b valós számok. Itt ismerhetjük meg a valós rész (Re) és a képzetes rész (Im) fogalmát [08:24]. Geometriai ábrázolás [09:34]: A komplex számok szemléltetése a komplex számsíkon történik, ahol minden számhoz egy pont vagy egy helyvektor rendelhető. A vízszintes tengely a valós, a függőleges a képzetes tengely [11:29]. Alapműveletek [12:04]: Összeadás és kivonás: Algebrailag tagonként, grafikusan a paralelogramma-szabály szerint történik [13:11]. Szorzás: A szokásos algebrai szabályok szerint, az i 2 =−1 behelyettesítésével [20:48]. Osztás: A nevező konjugáltjával való bővítés trükkjét alkalmazva tesszük valóssá a nevezőt [25:26]. Konjugált és abszolút érték: Konjugált: A z=x+iy szám konjugáltja z ˉ =x−iy, ami a valós tengelyre való tükrözésnek felel meg [37:47]. Abszolút érték: A komplex szám (vagy vektor) hossza, amelyet a Pitagorasz-tétellel, x 2 +y 2 ​ módon számolunk [48:45]. Trigonometrikus alak [01:00:26]: A szám megadható a hossza (r) és a pozitív valós tengellyel bezárt szöge (ϕ) segítségével: z=r(cosϕ+isinϕ). Ebben az alakban a szorzás és osztás sokkal egyszerűbb műveletté válik [01:17:47]. Hatványozás és gyökvonás [01:20:27]: Bemutatásra kerül a Moivre-képlet, amely megkönnyíti a magasabb hatványok kiszámítását. Az n-edik gyökvonás során egy komplex számnak pontosan n darab különböző gyöke van a síkon [01:27:35]. Exponenciális alak (Euler-formula) [02:03:04]: Bevezeti a z=r⋅e iϕ jelölést, amely az Euler-azonosságon alapul. Az előadás végén szó esik a komplex kitevős exponenciális függvényekről és azok analízisbeli alkalmazásairól [02:07:13].