【実戦力UP】包除法とブロック分けで1〜120の条件付き和を出す【聖光学院中】 скачать в хорошем качестве

【実戦力UP】包除法とブロック分けで1〜120の条件付き和を出す【聖光学院中】

■ 問題 1〜120 の整数のうち、3でも5でも割り切れない整数の総和を求めよ。 ■ ポイント（解法の方針） ・最も素直なのは「全体の和」から条件に合わない数（3の倍数、5の倍数）を引く包除法。 ・別法としては、15で区切ったブロック（1〜15, 16〜30, ...）ごとに「3でも5でも割り切れない数」の和を求め、ブロックごとの増分を利用して合計を出す方法がある。 ・どちらの方法も途中の計算は等差数列の和や簡単な乗算で済む。 ■ 解法1（包除法で一気に） 総和 S_total = 1 + 2 + ... + 120 = 120 × 121 ÷ 2 = 7260 3の倍数の和： 3, 6, ..., 120（個数 = floor(120/3) = 40） 和 S3 = 3 × (1 + 2 + ... + 40) = 3 × (40 × 41 ÷ 2) = 3 × 820 = 2460 5の倍数の和： 5, 10, ..., 120（個数 = floor(120/5) = 24） 和 S5 = 5 × (1 + 2 + ... + 24) = 5 × (24 × 25 ÷ 2) = 5 × 300 = 1500 15の倍数（3と5の両方）の和（重複引き戻し）： 15, 30, ..., 120（個数 = floor(120/15) = 8） 和 S15 = 15 × (1 + 2 + ... + 8) = 15 × (8 × 9 ÷ 2) = 15 × 36 = 540 3または5で割り切れる数の和 = S3 + S5 − S15 = 2460 + 1500 − 540 = 3420 よって求める和 = S_total − 3420 = 7260 − 3420 = 3840 ■ 解法2（15ごとのブロック分けで考える） 1ブロック（1〜15）で、3でも5でも割り切れない数は 1,2,4,7,8,11,13,14（8個）で、その和は 1+2+4+7+8+11+13+14 = 60 120 は 15 の倍数（120 = 15×8）なので、1〜120 はこの同じブロックが 8 個並ぶ形。 ただし各ブロックは「ブロック番号×15」を全要素に加えた形になるため、合計は次のように計算できる。 ブロック和の合計 = 8 × 60 + (各ブロックの増分分) 各ブロックの増分分は 15 × (各ブロックの先頭加算回数合計) 各ブロックに含まれる該当する項数は毎ブロック 8 個なので、 増分合計 = 15 × 8 × (0 + 1 + ... + 7) = 15 × 8 × 28 = 15 × 224 = 3360 したがって全体和 = 8×60 + 3360 = 480 + 3360 = 3840 （解法1と一致） ■ 答え 3840 ■ 考え方メモ ・包除法は「引きすぎたら戻す」を忘れないこと（ここでは15の倍数を戻す）。 ・15を基本単位にするブロック法は構造が見えやすく、大きな範囲で同じパターンが繰り返される場合に有効。 ・入試ではどちらの考え方も使えるようにしておくと柔軟に対応できる。 🔗 関連動画・おすすめリンク 【中学受験 算数の計算問題解説シリーズ】 ▶    • 灘中入試問題 2005年度1日目｜素因数分解で分数の計算問題   【中学受験 整数の性質の練習問題】 ▶    • 【魔方陣の攻略法】真ん中の数の見つけ方！公務員試験＆中学受験の数的処理対策｜算数過去...   【開成中学入試問題・過去問解説シリーズ】 ▶    • 【開成中学の算数】単位分数の和と整数問題を徹底解説！2010年度過去問に挑戦｜中学受験算数   【灘中学入試問題・過去問解説シリーズ】 ▶    • 灘中入試問題 2005年度1日目｜素因数分解で分数の計算問題   📢 視聴者へのお願い この動画が役に立ったと思ったら、ぜひ「いいね」や「コメント」で教えてください！ 「こんな問題も解説してほしい！」というリクエストも大歓迎です。 📌 このチャンネルについて 当チャンネルでは、算数・数学を楽しく学びながら、受験に必要な実力を着実に伸ばす方法をお届けします。 「考える力を鍛えたい」「苦手を克服したい」皆さんを全力で応援しています！ 📩 お仕事依頼・お問い合わせ 取材・お仕事のご相談はこちらまで： 📧 [email protected] #中学受験 #受験算数 #数学