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Starkes Gesetz großer Zahlen: Hinreichende Bedingung

Dieses Video wendet sich an Studierende der Mathematik, die an Themen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert sind. Es ist das zweite zum starken Gesetz großer Zahlen von A.N. Kolmogorov. Ausgangspunkt ist eine Folge X_1, X_2, ... stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert seien. Das starke Gesetz großer Zahlen besagt, dass folgende Aussagen äquivalent sind: a) Es gibt eine Zufallsvariable X, gegen die die Folge der arithmetischen Mittel der ersten n Zufallsvariablen beim Grenzübergang n gegen Unendlich fast sicher konvergiert. b) Der Erwartungswert von X_1 existiert. In diesem Video wird gezeigt, dass a) aus b) folgt, und dass die in a) auftretende Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit eins gleich dem Erwartungswert von X_1 ist. Hilfsmittel im Beweis sind eine geeignete Stutzung, das Kolmogorov-Kriterium für fast sichere Konvergenz, das Lemma von Cesàro und das Lemma von Borel-Cantelli.