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Nullstellenbestimmung mit Horner || Klasse 10 ★ Übung 3

Übungshefte zu allen Videos: http://shop.strandmathe.de/ Facebook:   / strandmathe   Instagram:   / strandmathe   Twitter:   / strandmathe   Zu den charakteristischen Stellen einer Funktion gehören Nullstellen. Dabei gilt immer, dass y = 0 gesetzt werden muss. Je nach Funktionsgleichung sind die Lösungsverfahren allerdings unterschiedlich, folgende kennst du bereits: Lineare Gleichungen (0=mx+b) werden durch Freistellen von x gelöst. Bei quadratischen Gleichungen (0=ax^2+ bx+c) wendet man die p-q-Formel an. In biquadratischen Gleichungen (0=ax^4+ bx^2+c) wird zunächst x² = z ersetzt (Substitution) und dann die p-q-Formel angewendet. Von den Lösungen muss abschließend ±√z gezogen werden. Für Gleichungen dritten Grades (0=ax^3+ bx^2+ cx+d) bestimmt man durch Einsetzen und Probieren möglicher Lösungen zunächst eine Nullstelle und führt dann eine Polynomdivision durch, sodass eine quadratische Gleichung bleibt, die man wie gewohnt lösen kann. Die Polynomdivision erfolgt wie die schriftliche Division (ax^3+ bx^2+ cx+d) ∶(x-x_0 ) , wobei x_0 der ersten geratenen Nullstelle entspricht. Berechne die Nullstellen der Funktion f(x)=x^4- 2x^3- 5x^2+6x . Auch wenn es sich um ein Polynom 4. Grades handelt, liegt hier keine biquadratische Gleichung vor. Eine solche besteht nämlich lediglich aus den Termen mit geraden Exponenten. Wir wählen folglich keinen biquadratischen Ansatz. Zunächst wird die Gleichung jedoch mit 0 gleich gesetzt. 0 = x^4- 2x^3- 5x^2+6x Es ist zu sehen, dass die Gleichung mit x = 0 gelöst werden kann. Man klammert also ein x aus. Dies ist immer möglich, wenn kein konstanter Term vorliegt. 0 = x(x^3- 2x^2- 5x+6) Wir notieren die erste Nullstelle mit x0,1 = 0 und suchen die Lösung für die Restgleichung. 0 = x^3- 2x^2- 5x+6 Durch geschicktes Abschätzen soll die zweite Nullstelle bestimmt werden. Man beginnt Zahlen wie -1, 1, -2, 2,… für x einzusetzen und berechnet, ob sich die Gleichung zu 0 ergibt. 〖(-1)〗^3- 2∙〖(-1)〗^2- 5∙(-1)+6=8 1^3- 2∙1^2- 5∙1+6=0 Tatsächlich führt x0,2 = 1 zur zweiten Nullstelle. Diese Nullstelle muss ebenfalls aus der Gleichung ausgeklammert werden. Dies geschieht, indem man die gesamte Gleichung durch (x – 1) dividiert, sprich eine Polynomdivision durchführt. Es wird Dividend und Divisor notiert und überlegt, wie oft der Divisor „in den Dividenden“ passt. Der Rest erfolgt wie bei der schriftlichen Division: Als ersten Schritt der Polynomdivision überlegt man sich, mit welcher Größe man den Divisor, also die erste Nullstelle, multiplizieren muss, damit der Term mit der höchsten Potenz im Dividenden wegfällt. In unserem Beispiel muss das x im Divisor mit x² multipliziert werden, um ein x³ zu erzeugen, welches auch im Dividenden auftaucht. Man trägt das x² hinter dem Gleichheitszeichen ein und notiert das Produkt in der Zeile unterhalb der Gleichung. Der ausmultiplizierte Term wird subtrahiert. Der verbleibende Rest ist neuer Dividend und die Suche nach der richtigen Ergänzung erfolgt von Neuem. Der Restterm ist nun noch vom Grad 2. Multipliziert man die Nullstelle (x-1) mit –x erhält man genau –x^2, sodass dies bei weiterer Subtraktion ebenfalls wegfällt. Zuletzt muss die Nullstelle lediglich mit -6 multipliziert werden, um den linearen Rest des anfänglichen Polynoms zu eliminieren. Schlussendlich hat man also restlos die Nullstelle des Polynoms „herausgezogen“. Das Ergebnis der Polynomdivision ist eine quadratische Gleichung, die mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden kann und die beiden letzten Nullstellen, x_0,3=3 und x_0,4=-2 , liefert. Insgesamt liegt demnach die maximale Anzahl von vier Nullstellen bei dem Polynom vor. Du kannst das Polynom jetzt auch als Linearfaktorzerlegung der Nullstellen notieren. Dabei multiplizierst du einfach alle Nullstellen (x-x_(0,i)) miteinander: f(x)=(x-0)(x-1)(x-3)(x+2)=x∙(x-1)(x-3)(x+2) Trainer: „Die Umkehrung der Polynomdivision ist die Linearfaktorzerlegung. Beim Ausmultiplizieren der Nullstellen (x-x_(0,i)) erhältst du die normale Schreibweise eines Polynoms.“