Найдите преобразование Лапласа синусоидальной функции (преобразование Лапласа sin(t)). скачать в хорошем качестве

Найдите преобразование Лапласа синусоидальной функции (преобразование Лапласа sin(t)).

Чтобы вычислить преобразование Лапласа для sin(t), мы берём интеграл от 0 до бесконечности от e^-st*sin(t), где s — константа относительно интеграла по t. Это преобразование Лапласа сочетает в себе несобственные интегралы с циклическим интегрированием по частям, что сделало его идеальным бонусным заданием для моего последнего экзамена по математическому анализу II! Чтобы вычислить интеграл, мы применяем интегрирование по частям, положив u=e^-st и dv=sin(t)dt. Это приводит ко второму интегралу с косинусом вместо синуса, и мы положим u=e^-st и dv=cos(t)dt. После очистки мы находим копию исходного интеграла в правой части нашей работы. Мы вычисляем остаточные члены от 0 до бесконечности, замечая, что e^(-infinity) однозначно равно нулю, поэтому интеграл сходится, если s больше 0. Эти остаточные члены дают в результате константу 1. Теперь мы завершаем циклический трюк: мы собираем обе копии исходного интеграла в левой части и выносим интеграл за скобки. Используя имя F(s) для интеграла, мы находим, что F(s)(1+s^2)=1 или F(s)=1/(1+s^2), и это преобразование Лапласа для sin(t). В конце мы отметим, что преобразования Лапласа очень полезны при решении дифференциальных уравнений, где мы преобразуем целое дифференциальное уравнение в s-пространство преобразований Лапласа и находим решение, используя простую алгебру. Затем мы преобразуем решение обратно в t-пространство! Это отличный прототип для математической физики в целом: идея о том, что переход к абстрактному пространству может сделать всю математику тривиальной, затем вы решаете задачу в абстрактном пространстве, а затем переносите решение обратно в реальный мир. Это прекрасная математическая идея, которую мы постоянно видим в математической физике!