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Cours sur la dualité

On donne deux applications de la dualité, une à la formule d'interpolation de Lagrange, et une autre à la formule de Taylor polynomiale. On montre que ces deux formules découlent d'une démarche standard impliquant la recherche de bases duales l'une de l'autre. On discrétise la formule de Taylor pour obtenir une formule générale qui calcule la somme P(0)+P(1)+...+P(m) pour tout polynôme P. On ne se prive pas d'utiliser la dualité. On étudie maintenant la dualité des sous-espaces vectoriels pour aboutir à la notion d'orthogonal d'un sous-espace (attention, cet orthogonal doit être vu dans le dual!). On donne la dimension de cet orthogonal, puis, on étudie la dualité des opérations sur les sous-espaces vectoriels. On introduit les hyperplans comme l'orthogonal d'une droite. Si une droite est un sous-espace non nul ayant un minimum de degrés de liberté, un hyperplan peut être vu comme un sous-espace ayant un minimum de contraintes. On discute les sous-espaces comme intersections d'hyperplans, ce qui revient à obtenir un sous-espace par son équation cartésienne. Dans cette vidéo, on présente la transposée d'une application linéaire. Même si au final, elle correspond à la banale transposée d'une matrice, cette notion abstraite de transposée d'application linéaire demande une certaine habileté dans le maniement. On prouve que la transposée fournit une bijection linéaire entre les espaces L(E,F) et L(F^*,E^*). On montre ici que la transposée, qui envoie bijectivement l'espace L(E,F) sur L(F^*,E^*),envoie les injectifs sur les surjectifs et inversement, les noyaux sur les images. Ce qui nous permet d'achever le dictionnaire de la dualité que nous avions mis en introduction du cours 5. On jongle ici avec le bidual pour montrer que la transposée est involutive. Mais si f est dans l'espace L(E,F) des applications linéaires, la transposée de sa transposée est dans L(E^{**},F^{**}). Que signifie donc l'égalité entre deux éléments qui n'appartiennent pas au même ensemble? On va essayer d'expliquer cette subtilité. Ceux qui ne sont pas sensibles au concept alambiqué de bidual pourront se contenter de constater que la transposée possède une version matricielle beaucoup plus pratique. On fait le point sur des applications de la dualité dans le programme et les développements de de l'agreg (interne ou externe). On trouvera des applications aux polynômes, aux matrices, en analyse, topologie, et bien sûr dans le cadre des formes quadratiques. 00:00 L'objet dual 19:44 changement de base et dualité 38:31 Deux applications classiques de la dualité 57:58 Somme des P(k) et dualité 01:09:02 Dualité et sous-espaces 01:28:46 Hyperplans 01:41:04 La transposée 01:51:29 Injectifs vs surjectifs 02:02:48 Bidual et transposée 02:15:16 Le point sur les applications de la dualité