מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 52 - הצגת מונום בסיסי כהפרש עוקב בפולינומי ברנולי, והערת סימון משחקית מוכרת скачать в хорошем качестве

מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 52 - הצגת מונום בסיסי כהפרש עוקב בפולינומי ברנולי, והערת סימון משחקית מוכרת

אינפי 1 לאדיוטים פרק 1 (המספרים הממשיים) תת-פרק 6 (המספרים הטבעיים השלמים והרציונאליים ועקרון המינימום ועקרון האינדוקציה) חלק 29 טענה 6 - אפשר להציג את המונום k*t^(k-1) כהפרש בין הפולינום ברנולי ה-k-י בין הערכים העוקבים ב-t+1 ל-t. קרי: Bk(t+1)-Bk(t) = k*t^(k-1) הוכחה- בגלל שכ"כ הרבה הוכחת היו ע"י יחידות הפיתוח לטור טיילור. ברור שאינטואיציה חזקה להוכחה תהיה לדחוף את Bk(t+1)-Bk(t) כמקדמי טיילור ולהמשיך משם. ההמשך די בפשטות מביא אותנו כצפוי לפונ' היוצרת לפולינומי טיילור בנקודות שונות. ומפיתוח מקלורן של אקספוננט, מתקבל המונום הבסיסי שבאגף השני. הוכחה 3 לנוסחת פאולהאבר בשימוש ההצגה של מונום בסיסי כהפרש בין פולינומי ברנולי בנקודות עוקבות. אם אפשר להציג מונום בסיסי כהפרש כזה. ממש מרגיש שיש פה סכום טלסקופי מדהים. הסכום הטלסקופי יוצר את סכום החזקות שמוכיח שוב את נוסחת פאולהאבר בהצגה ה-3-ית הערת הרחבה יפה למקרה יותר כללי של סכום חזקות - בגלל שהצגנו מונום כללי בסכום כמשהו טלסקופי, די ברור שניתן להכליל את הסכום ולכתוב אותו החל מערך מסויים אלפא, והטלסקופיות לא תיפגם מזה. כך לקבל הצגה יותר מוכללת לנוסחת פאולהאבר בהצגה ה-3-ית הערת סימון משחקית מוכרת - מהדמיון בין פולינומי ברנולי לבינום של ניוטון, אפשר להתחכם ולסמן (זה סימון, לא שוויון אמיתי) בתור (k)^(B+t) את הפולינום הברנולי ה-k-י שהוא Bk(t). וזאת כאשר חזקה B^n מוחלפת בסימון הזה שלנו אחרי שפותחים סוגריים ע"י בינום ניוטון במספר הברנולי ה-k-י שהוא Bk. כך אפשר לרשום את השוויון המעוות תחת הסימון שלנו, ש- Bk(t) = (B+t)^(k) ומסתבר שאפשר גם לעשות בסימון הזה ממש חישובים ושזה יעבוד. כמו שהדגמתי שאפשר לקבל את טענה 6 ישירות מהסימון המשחקי הזה. לסיום הצגתי איך למצוא ישירות מתוך משולש פסקל את נוסחת פאולהאבר.