Numerikus analízis 2.7 Konvergencia rendje 2026 скачать в хорошем качестве

Numerikus analízis 2.7 Konvergencia rendje 2026

Ez a videó egy egyetemi előadás a numerikus módszerek témakörében, amely a sorozatok konvergenciájával, a fixpont-iterációval és a Newton-módszer többdimenziós kiterjesztésével foglalkozik. Az alábbiakban összefoglalom a videó legfontosabb részeit: 1. Konvergenciarend és alapfogalmak A videó elején a konvergencia gyorsaságának méréséről van szó [00:13]. Definíció: Meghatározzák az α rendű konvergenciát, ahol a hiba becslése a következő lépésben az előző lépés hibájának α-adik hatványával arányos [00:25]. Típusok: Lineáris konvergencia (α=1): A hiba egy konstansszorosára csökken minden lépésben [03:39]. Kvadratikus konvergencia (α=2): Rendkívül gyors hibacsökkenés, ahol a hiba a korábbi hiba négyzetével arányos [03:23]. Szuperlineáris konvergencia: A lineárisnál gyorsabb, de a másodrendűnél lassabb folyamat [06:40]. 2. Fixpont-iteráció és gyökök rendje Az előadó bemutatja, hogyan függ a konvergencia sebessége a függvény deriváltjaitól [17:23]. Lineáris eset: Ha a fixpontban a derivált abszolút értéke kisebb mint 1, a módszer lokálisan konvergens [17:47]. Magasabb rendű konvergencia: Ha az első m−1 derivált nulla a fixpontban, akkor a konvergencia rendje m lesz [18:27]. Többszörös gyökök: Newton-módszernél fontos különbség, hogy egyszeres gyök esetén a konvergencia kvadratikus, de többszörös gyök esetén lelassul lineárisra [25:32]. 3. Többváltozós analízis alapozó Mivel a Newton-módszert többdimenziós rendszerekre is kiterjesztik, az előadás kitér a szükséges matematikai alapokra [01:03:10]: Jakobi-mátrix: Az elsőrendű parciális deriváltak mátrixa [49:18]. Hesse-mátrix: A másodrendű parciális deriváltakat tartalmazó mátrix [36:23]. Vektornormák és mátrixnormák: A távolság mérésére szolgáló függvények (1-es, 2-es/euklideszi és végtelen norma) és azok tulajdonságai [54:14]. 4. Newton-módszer N-dimenzióban A videó egyik központi része a nemlineáris egyenletrendszerek megoldása [01:38:29]. Iterációs képlet: x k+1 ​ =x k ​ −[F ′ (x k ​ )] −1 F(x k ​ ), ahol a Jakobi-mátrix inverzét használják [01:42:27]. Gyakorlati megvalósítás: Az invertálás helyett általában egy lineáris egyenletrendszert oldanak meg minden lépésben a hatékonyság érdekében [01:45:15]. 5. Quasi-Newton módszerek Végül szó esik olyan eljárásokról is, ahol a deriváltmátrix kiszámítása túl bonyolult lenne [01:48:21]. Broyden-módszer: Egy olyan közelítő eljárás, amely nem igényel pontos deriváltat minden lépésben, mégis szuperlineáris konvergenciát biztosít [01:50:24].