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Charakteristische Polynome und Nullstabilität, Numerische Methoden #73

Welche Bedeutung haben die assoziierten charakteristischen Polynome für lineare Mehrschrittverfahren und warum ist die Nullstabilität eine notwendige Bedingung für die Konvergenz eines linearen Mehrschrittverfahrens? Dipl. Physiker Dietmar Haase zeigt in diesem Video, dass sich für jedes beliebige lineare r-Schrittverfahren assoziierte beziehungsweise charakteristische Polynome definieren lassen, mit denen sich sofort ganz einfach prüfen lässt, ob ein lineares r-Schrittverfahren konsistent ist. Weiterhin wird der zentrale Begriff der Nullstabilität eines linearen r-Schrittverfahren eingeführt, die eine notwendige Bedingung für die Konvergenz eines linearen Mehrschrittverfahrens darstellt. Ein lineares Mehrschrittverfahren wird dabei als nullstabil bezeichnet, wenn kleine Approximationsfehler in den Gitterfunktionswerten für den Anlauf des Verfahrens nicht verstärkt werden. Diese Eigenschaft lässt sich mit den Dahlquist’schen Wurzelbedingungen leicht überprüfen. Die Dahlquist’schen Wurzelbedingungen fordern, dass alle Nullstellen des ersten charakteristischen Polynoms auf einer Einheitskreisscheibe um den Ursprung in der komplexen Ebene liegen müssen und das Nullstellen auf dem Kreisrand nur die Vielfachheit eins haben dürfen. Website: https://www.ingmathe.de Youtube Kanal:    / ingmathede   Online-Rechner: https://www.wolframalpha.com