Куб Фибоначчи: одно тождество, два доказательства | Теория чисел | Дискретная математика | Догматика скачать в хорошем качестве

Куб Фибоначчи: одно тождество, два доказательства | Теория чисел | Дискретная математика | Догматика

https://dogmathic.com/ Точечности Фибоначчи и так довольно странные, но эта на первый взгляд выглядит почти фальшивой, потому что каждый член возведён в куб: F_{3n} = F_{n+1}^3 + F_n^3 - F_{n-1}^3. В этом видео я доказываю её чисто, начиная с самых основ, и главный сюрприз в том, что доказательство заставляет вас использовать стандартную формулу сложения Фибоначчи. Не просто использовать её, мы фактически выводим её в середине рассуждения, так что вы получаете бонусное доказательство внутри доказательства. Мы начинаем с правой стороны и перегруппировываем члены, чтобы сработала разность кубов: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). Это превращает выражение в нечто, построенное из (F_{n+1} - F_{n-1}), умноженного на квадратичное выражение Фибоначчи. Затем сразу же появляется рекуррентное соотношение Фибоначчи: F_{n+1} = F_n + F_{n-1}. Таким образом, разность F_{n+1} - F_{n-1} сводится к F_n, что означает, что всю правую часть можно переписать как одно большое разложенное на множители выражение с вынесенным вперед F_n. В этот момент правая часть упрощается, но она еще не очевидно равна F_{3n}. Теперь переходим к той части, которая фактически делает это тождество удовлетворяющим: мы строим стандартную формулу сложения с нуля. Мы определяем две последовательности, одну для левой части и одну для предлагаемой правой части, и доказываем, что они следуют одному и тому же рекуррентному соотношению Фибоначчи. Затем мы проверяем базовые случаи n = 0 и n = 1. Как только обе последовательности соответствуют рекуррентному соотношению и первым значениям, индукция связывает их вместе. Это даёт формулу сложения: F_{m+n} = F_m F_{n+1} + F_{m-1} F_n Имея это, переходим к левой стороне, записывая 3n как 2n + n. Применяем формулу к F_{2n+n}. Но это вводит F_{2n} и F_{2n-1}, поэтому мы снова применяем ту же формулу, чтобы вычислить их через F_n, F_{n+1} и F_{n-1}. После подстановки мы выносим F_n за скобки и раскрываем скобки ровно настолько, чтобы увидеть ту же самую квадратичную комбинацию, которую мы уже получили на шаге разности кубов. Таким образом, обе стороны сводятся к одному и тому же выражению, и тождество встаёт на своё место. Если вам нравятся алгебраические преобразования, чистая факторизация и структура Фибоначчи, это идеальное короткое доказательство, которое всё ещё кажется фокусом.    • Unlocking Fibonacci’s Closed Form: The Alg...      • Fibonacci | Prove 𝐹₀ + 𝐹₂ + 𝐹₄ + ⋯ + 𝐹₂ₙ =...      • Random and Interesting      • Number Theory      • Discrete Mathematics   ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ Рекуррентное соотношение Фибоначчи Разложение на множители разности кубов Алгебраическая перестановка и факторизация Индукционная модель Определение вспомогательных последовательностей g(n), h(n) Стандартная формула сложения чисел Фибоначчи Подстановка При m = 2n, затем повторное использование при 2n и 2n-1 Сопоставление левой и правой частей Главы: 00:00 Введение 00:50 Тождество и план 01:45 Определение Фибоначчи 02:40 Разность кубов 03:35 Упрощение с помощью рекуррентного соотношения 05:20 Формула сложения 06:40 Определение g(n) и h(n) 07:45 Проверка рекуррентного соотношения g 09:10 Проверка рекуррентного соотношения h 12:45 Базовые случаи 14:55 Заключение по индукции 16:10 Применение формулы к F_3n 17:35 Вычисление F_2n и F_2n-1 19:00 Подстановка и разложение на множители 20:50 Итоговое равенство 21:44 Спасибо за просмотр #Fibonacci #FibonacciNumbers #FibonacciIdentity #ТеорияЧисл #ДискретнаяМатематика #МатематическоеДоказательство #Индукция #Последовательности #Алгебра #МатематическаяЛекция #собачьяМатематика