מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 71 - תכונת ארכימדס בגרסאות שונות, ושבכל קטע מאורך גדל מאחד קיים מספר שלם скачать в хорошем качестве

מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 71 - תכונת ארכימדס בגרסאות שונות, ושבכל קטע מאורך גדל מאחד קיים מספר שלם

אינפי 1 לאדיוטים פרק 1 (המספרים הממשיים) תת-פרק 8 (חסמים מלעיל ומלרע, אקסיומות החסם העליון והתחתון, אקסיומת השלמות, ארכימדיות, צפיפות, ריצפה, תקרה ושבריות) חלק 7 תכונת ארכימדס - לכל ממשי קיים טבעי שגדול יותר הוכחה - מעניין מאוד לציין שיש צורך באקס' השלימות בשביל ההוכחה... ההוכחה בשלילה, מניחים שיש ממשי שגדול מכל הטבעיים, לכן הטבעיים חסומים-מלעיל, לכן מאקס' החסם-העליון קיים לטבעיים סופרימום S. הרעיון הוא שמכיוון ש-S סופרימום, כל ממשי x שלפניו "נכשל" בלחסום את הטבעיים. אבל ניתן לקחת x-ים ממש ממש ממש צמודים ל-S מלמטה!! ממש!!!! ומהיותם "חסמים כושלים" ניתן יהיה למצוא טבעי n שגדול מהם. אם ניקח אז x שמרחקו מ-S הוא מאית למשל. יהיה טבעי n בין x ל-S. וזה יכריח את n+1 שהוא באורך יחידה אחרי n, להיות אחרי S ולעקוף אותו. והרי שמצאנו טבעי שגדול מהסופרימום של הטבעיים S, בסתירה. הערה - גם השלמים והרציונאליים לא חסומים-מלעיל, ובנוסף הם גם לא חסומים-מלרע. הוכחה - מכילים את הטבעיים ולכן אובווויאואוסלייי לא חסומים-מלעיל. מצד שני, מינוס השלמים זה השלמים ולכן גם הוא מכיל את הטבעיים ולא חסום-מלעיל, לכן השלמים לא חסומים-מלרע. ובדומה, לרציונאליים. טענה - לכל ממשי חיובי קיים הופכי לטבעי שקטן ממנו הרעיון הוא שמס' ממשי לא יכול להיות "קטן עד אינסוף" וזה בדומה לתכונת ארכימדס שאומרת את הרעיון של מס' ממשי לא יכול להיות "גדול עד אינסוף" הוכחה - עוברים לעולם ההופך ומשתמשים בו בתכונת ארכימדס ואז חוזרים לעולם הרגיל טענה - בכל קטע-פתוח מאורך גדול מ-1, יש בהכרח מס' שלם הוכחה - הרעיון הוא להתבונן בכל השלמים שקטנים מהקצה השמאלי של הקטע, לחפש את המקס' של שלמים אלו (אם קיים, חלק עיקרי בהוכחה זה להוכיח שקיים...) וללכת מהמקס' הזה צעד אחד ויחיד וחמוד ותמים. צעד בגודל יחידה. לאחר הצעד הזה, בוודאות צעדנו לתוך הקטע הפתוח עצמו, ואנחנו בתוכו ממש. אבל כשצועדים ממספר שלם צעד, מקבלים מספר שלם. והרי לנו מס' שלם שבטענת המשפט שחייב להיות בקטע. כדי להוכיח שאכן קיים אותו מקס' מוכיחים שלקבוצה ההפוכה קיים מיני'. אם הקב' ההפוכה מוכלת בטבעיים, ברור שקיים מיני' מעקרון המיני'. (הסדר הטוב) אם לא מוכלת בטבעיים, אז ניתן לחלק אותה לאיחוד של הטבעיים עם איחוד של קבוצה של שלמים בין איזה ממשי שלילי לבין 0. (לא כולל 0) ניתן למצוא ממשי שקטן מאותו ממשי שלילי ע"י תכונת ארכימדס. (אעעהעעם אעעהם הנה ההופעה של תכונת ארכימדס סוף סוף, שתלוייה כזכור באקס' השלימות) לקבל שהקבוצת שלמים השליליים האלה מוכלת בקבוצת שלמים סופית אחרת, ולכן קבוצת השלמים שלנו סופית בעצמה ויש לה מיני'. וגם לטבעיים יש מיני' ולכן גם לאיחודם יש מיני'. איחודם אינו אלא מינוס הקב' הנתונה, ולכן לקבוצת השלמים הנתונה שקטנים מהקצה השמאלי של הקטע-הפתוח *יש מקס'*. כנדרש. אח"כ בעזרת אלגברה משעממת למדיי מראים שאכן הצעד מכניס אותנו לתוך הקטע הפתוח הנתון. ובזה סיימנו. טענה - (תכונת ארכימדס בניסוח של ארכימדס לתכונה) לכל שני מספרים ממשיים חיוביים, קיים טבעי שמכפלו באחד הממשיים תניב ערך גדול מערך הממשי השני. שזה אומר שלכל 2 פיסות אורך, אפשר לקחת את אחת הפיסות ולחבר לפיסות חדשות באורך שלה, שוב ושוב ושוב ושוב עד שתתקבל פיסה באורך שעוקף את אורכה של הפיסה האחרת. הוכחה - ישיר לגמרי מתכונת ארכימדס. טענה - לכל x ממשי קיים שלם בקטע [x,x+1) וקיים שלם בקטע (x,x+1] הוכחה - אפשר למשל להוכיח לקטע (x,x+1] באותה צורה בדיוק כמו ההוכחה המגעילה על קטע פתוח מאורך שגדול מאחד. ובעזרת שיקוף, מתקבלת גם הוכחה עבור הקטע האחר, הקטע [x,x+1)