מתמטיקה - שיעור 73 - הגדרת הערך-השלם (הרצפה), התקרה והחלק-השברי (השבריות), עם 22 תכונות בסיסיות שלהם скачать в хорошем качестве

מתמטיקה - שיעור 73 - הגדרת הערך-השלם (הרצפה), התקרה והחלק-השברי (השבריות), עם 22 תכונות בסיסיות שלהם

אינפי 1 לאדיוטים פרק 1 (המספרים הממשיים) תת-פרק 8 (חסמים מלעיל ומלרע, אקסיומות החסם העליון והתחתון, אקסיומת השלמות, ארכימדיות, צפיפות, ריצפה, תקרה ושבריות) חלק 9 טענה - קיים מקס' לקבוצת השלמים שמשמאל לממשי מסויים הוכחה - נסתכל על מינוס הקבוצה ונחפש לה מיני' במקום. אם מינוס הקב' מוכלת בטבעיים, קיום המיני' הוא ישיר מעקרון המיני'. אם מינוס הקב' לא מוכלת בטבעיים, ניתן להציג את הקב' כאיחוד-זר של הטבעיים עם השלמים עם קב' שמאגדת את כל השלמים השליליים. אח"כ ניתן למצוא מספר שלם מספיק שלילי כך שהוא משמאל לכל המספרים השליליים הללו שבקב' המאגדת. וכך להתבונן בקב' שמתחילה ממנו ונגמרת במינוס 1. היא בהכרח מכילה את החלק של השליליים שבאיחוד... (מכילה את הקב' המאגדת כאילו) והיא כמובן סופית... לכן הקב' המאגדת את החלק של השליליים היא גם סופי, ולכן קיים לה מיני', וגם לטבעיים קיים מיני', ולכן לאיחודם קיים מיני'. כנדרש. הגדרת הרצפה התקרה והשבריות - הרצפה של ממשי מוגדרת כמס' השלם שמשמאל לממשי והכי צמוד לו. במילים אחרות, הרצפה מוגדרת כמקס' של קבוצת השלמים שקטנים-שווים לממשי. באופן דומה, התקרה של ממשי מוגדרת כמס' השלם שמימין לממשי והכי צמוד לו. במילים אחרות, התקרה מוגדרת כמיני' של קבוצת השלמים שגדולים-שווים לממשי. השבריות מוגדרת כפער בין הערך עצמו של ממשי לבין הערך של הרצפה שלו. כמה צריך להמשיך מהרצפה כדי להגיע לממשי... תכונות הרצפה התקרה והשבריות - (הוכחה שיעור הבא) 1. ממשי תקוע תמיד בין הרצפה והרצפה ועוד 1. כאשר שוויון יתכן עם הרצפה. בנוסף, ממשי תקוע תמיד בין התקרה והתקרה ופחות 1. כאשר שוויון יתכן עם התקרה. 2. ממשי תקוע תמיד בין הרצפה לתקרה. כשהרצפה עצמה תקועה בין הממשי לממשי פחות 1. שוויון יתכן רק עם הממשי. כשהתקרה עצמה תקועה בין הממשי לממשי ועוד 1. שוויון יתכן רק עם הממשי. 3. אם ממשי תקוע בקטע חצי-פתוח מימין חצי-סגור משמאל, כשמשמאל מס' שלם ומימין העוקב לו. אזי הריצפה של הממשי בהכרח שווה לשלם. 4. מס' הוא שלם אםם הוא שווה לקרצפה שלו אםם אין לו שבריות (מתאפסת...) 5. השבריות תמיד תקועה בין 0 ל-1, כשהיא יכולה להיות 0, אבל לא 1. 6. כל ממשי ניתן להצגה כסכום של הרצפה שלו עם השבריות שלו. וההצגה יחידה. 7. לתקרה יש 2 אפשרויות. או שהיא שווה לרצפה, וזאת במקרה שהממשי שלם. או שהיא גדולה ביחידה מהרצפה וזאת כשהממשי אינו שלם. 8. אפשר להוציא מינוס החוצה (או להכניס מינוס פנימה) אם הופכים רצפה ותקרה. 9. הרצפה של סכום 2 ממשיים, גדולה-שווה לסכום הרצפות, וקטנה-שווה לסכום הרצפות ועוד 1. כאשר בהכרח אחד האי-שוויונות הוא שוויון! ומתקיים שוויון לערך הקטן אם סכום השבריות לא עולה על יחידה. ומתקיים שוויון לערך הגדול עם סכום השבריות גדול-שווה 1. 10. הרצפה של סכום n ממשיים, גדולה-שווה לסכום הרצפות, וקטנה-שווה לסכום הרצפות ועוד n-1. 11. ניתן להוציא שלם שנמצא בתוך רצפה החוצה. ניתן להוציא שלם שנמצא בתוך תקרה החוצה. שלם לא משפיע על השבריות של ממשי. 12. סכום השבריות של ממשי והנגדי שלו, או שהוא מתאפס אם הממשי שלם, או שהוא משלים לאורך יחידה אם הממשי אינו שלם. 13. אי-שוויון חלש מורש משממשיים לרצפות ולתקרות שלהם. בנוסף, אם ממשי קטן ממש משלם, אז הרצפה של הממשי קטנה ממש מהשלם גם כן. 14. לכל מס' טבעי n, הרצפה של n פעמים ממשי, גדולה-שווה ל-n פעמים הרצפה של הממשי, וקטנה-שווה ל-n פעמים הרצפה של הממשי ועוד n-1. רעיון דומה הוא, שניתן להציג את הרצפה של n פעמים ממשי, כ-n פעמים הרצפה של הממשי ועוד הרצפה של n פעמים השבריות של הממשי. 15. שבריות של סכום 2 ממשיים, או שהיא שווה לסכום השבריות שלהם וזה כשסכום השבריות לא עוקף את היחידה, או שהיא שווה לסכום השבריות שלהם פחות 1 וזה כשסכום השבריות גדול-שווה ליחידה. 16. שבריות של סכום 2 ממשיים, שווה בסיכום הדברים לשבריות של סכום השבריות של שניהם... 17. שבריות של 1 פחות ממשי מקיים סימטריה מסויימת, במובן הזה ש- או שהיא שווה אפס אם הממשי שלם, או שהיא שווה 1 פחות שבריות הממשי אם הממשי אינו שלם. 18. סכום הרצפות של ממשי והנגדי לו, או שהוא מתאפס כאשר הממשי שלם, או שהוא שווה 1- כאשר הממשי אינו שלם. 19. סכום הרצפה והתקרה של ממשי, או שהוא שווה לפעמיים הממשי וזה כאשר הממשי שלם, או שהוא שווה לפעמיים הרצפה של הממשי, ולזה מוסיפים יחידה, וזה כאשר הממשי אינו שלם. 20. הרצפה של סכום 2 ממשיים, או שהיא שווה לסכום הרצפות וזה כאשר השבריות של הממשיים קטנה מ-1, או שהיא שווה לסכום הרצפות ועוד 1 וזה כאשר השבריות של הממשיים גדולה-שווה ל-1. 21. הרצפה של סכום 2 ממשיים, שווה לסכום הרצפות של הממשיים, ועוד לרצפה של סכום השבריות של הממשיים. 22. הרצפה של סכום n ממשיים, שווה לסכום הרצפות של n הממשיים, ועוד לרצפה של סכום השבריות של n הממשיים.