מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 72 - הגדרת הצפיפות בממשיים, הרציונאליים צפופים, ויש אינסוף מהם בין 2 ממשיים скачать в хорошем качестве

מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 72 - הגדרת הצפיפות בממשיים, הרציונאליים צפופים, ויש אינסוף מהם בין 2 ממשיים

אינפי 1 לאדיוטים פרק 1 (המספרים הממשיים) תת-פרק 8 (חסמים מלעיל ומלרע, אקסיומות החסם העליון והתחתון, אקסיומת השלמות, ארכימדיות, צפיפות, ריצפה, תקרה ושבריות) חלק 8 קבוצה נקראת צפופה בממשיים אם בכל קטע לא-מנוון אפשר למצוא איבר מהקבוצה הזאת טענה - הרציונאליים צפופים בממשיים הוכחה - רעיון ההוכחה יהיה לנפח את הקטע במספר טבעי, עד שאורכו יהיה יותר מאורך יחידה, ואז מובטח לנו קיום מס' שלם בקטע המנופח. כשמלקחים בטבעי בו ניפחנו, הקטע המנופח חוזר לקטע המקורי, והשלם שמצאנו מצומצם להיות משהו בתוך הקטע האמיתי כשהוא צומצם במספר טבעי, לכן יתקבל שלם חלקי טבעי בקטע המקורי, ולכן תמיד ניתן למצוא רציונאלי בכל קטע שיעלה על הדעת... טענה - אם קבוצה צפופה בממשיים, אז בכל קטע לא-מנוון ניתן למצוא אינסוף איברים מהקבוצה! ולכן, בכל קטע לא-מנוון ניתן למצוא אינסוף מספרים רציונאליים הוכחה - אחת ההוכחות פשוט מוצאת ע"י צפיפות איבר מהקבוצה בקטע, ואז מצטמצמת לקטע קטן יותר שהוא מנקודת ההתחלה עד הנקודה שמצאנו, מצפיפות יש גם שם איבר מהקבוצה, וכל הקטע קטן מהאיבר הקודם, לכן גם האיבר החדש שמצאנו קטן מהקודם. אותו דבר, שוב בונים מנקודת ההתחלה של הקטע עד הנקודה האחרונה קטע חדש שמשמאל לכל האיברים שמצאנו... ניתן להמשיך עד אינסוף, לכן יש אינסוף איברים מהקבוצה בקטע.