Tarea 2 | Cálculo Multivariado (2026-01) Ejercicio 1. Parametrización de curvas | UNAD скачать в хорошем качестве

Tarea 2 | Cálculo Multivariado (2026-01) Ejercicio 1. Parametrización de curvas | UNAD

Conviértete en miembro de este canal para disfrutar de ventajas:    / @educarlos_ing   Ejercicio 1. Parametrización de superficies. Cada estudiante deberá escoger un único literal (A, B, C, D o E) que determine la parametrización a estudiar. Cada una de las siguientes curvas está definida por una función vectorial r ⃗: [0,2π] → R^3, que asigna a cada valor de 𝑡 un punto en el espacio tridimensional. Parametrizaciones disponibles: La parametrización r ⃗(t)=(2cos(t),2sen(t),t) está definida para 0≤t≤2π. La parametrización r ⃗(t)=(3cos(t),3sen(t),t) está definida para 0≤t≤2π. La parametrización r ⃗(t)=(4cos(t),4t,4sen (t)) está definida para 0≤t≤2π. La parametrización r ⃗(t)=(5sen(t),5t,5cos(t)) está definida para 0≤t≤2π. La parametrización r ⃗(t)=(6t,6sen(t),6cos (t)) está definida para 0≤t≤2π. Realice lo siguiente: • Construya la curva generada por la parametrización seleccionada utilizando GeoGebra. • Determine los vectores velocidad v ⃗(t) y aceleración a ⃗(t) para la curva dada. Además, encuentre el triedro de Frenet asociado a la curva. Este triedro consta de tres vectores: el vector tangente T ⃗(t), el vector normal N ⃗(t), y el vector binormal B ⃗(t). Especifique claramente cada uno de estos vectores en términos de sus componentes 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) y 𝑧(𝑡). • Utilizando GeoGebra, seleccione un valor t₀ dentro del dominio y dibuje las flechas de los vectores T ⃗(t_0), N ⃗(t_0 ), y B ⃗(t_0), usando colores distintos. Identifique cada vector con una etiqueta clara. A continuación, represente también los tres planos fundamentales en ese punto: • Plano osculador: generado por los vectores T ⃗(t_0)y N ⃗(t_0 ). • Plano normal: generado por los vectores N ⃗(t_0 ) y B ⃗(t_0). • Plano rectificante: generado por los vectores T ⃗(t_0) y B ⃗(t_0). Ejercicio 2. Graficas de Funciones de dos variables. Cada estudiante deberá seleccionar un único literal (A, B, C, D o E), el cual corresponde a una función específica de dos variables. f(x,y)=4x^2+4y^2 f(x,y)=x^2-y^2 f(x,y)=√(x^2-y^2 ) f(x,y)=√(16-x^2-y^2 ) f(x,y)=√(36-x^2/4-y^2/9) A continuación, realice lo siguiente: Utilice GeoGebra para graficar las curvas de nivel de la función 𝑓(𝑥,𝑦) en el plano 𝒙𝒚 para los valores de 𝑓(𝑥,𝑦)= 0,1,2,3. Obtenga la ecuación algebraica de cada curva de nivel y describa su geometría, indicando si corresponde a un círculo, parábola, elipse o hipérbola (puede apoyarse en ChatGPT para recordar las ecuaciones y propiedades de estas cónicas). Utilice GeoGebra 3D para visualizar la superficie definida por 𝒛 = 𝒇(𝒙,𝒚). Utilice ChatGPT para ayudarle a responder lo siguiente: • Identificar el tipo de superficie: (por ejemplo, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, silla de montar, cilindro, semiesfera, etc.) • Encontrar simetrías: indique respecto a qué ejes o planos es simétrica (eje 𝒙, eje 𝒚, plano 𝒛 = 𝟎, etc.) • Hallar el dominio de definición: describa para qué pares (𝒙,𝒚) está definida la función (todo el plano, dentro de un disco, región con raíz real, etc.) • Revisar el comportamiento general: comente su forma global (cóncava o convexa), la presencia de puntos críticos (máximos, mínimos y/o puntos sillas) y cómo varía a medida que se aleja del origen. Ejercicio 3. Límites, Continuidad y Derivadas Parciales en Contexto Se presentan a continuación varios modelos matemáticos que describen fenómenos de aplicación en diferentes áreas. Elige uno de los literales (A, B, C, D o E) y, para el modelo seleccionado, desarrolla las actividades propuestas. Modelos propuestos Temperatura en una placa metálica Aproxima la variación de la temperatura en un punto (x,y) de una placa delgada conductora, a partir de una distribución simétrica que cambia de signo según la dirección. T(x,y)=(x^2-y^2)/(x^2+y^2 ) , (x,y)≠(0,0) ; T(0,0)=0 Concentración de partículas en un medio difusivo Representa la densidad de partículas en un fluido, donde la difusión depende de la distancia al origen y el factor exponencial intensifica el crecimiento en regiones alejadas. C(x,y) = x^2 e^(x^2+y^2 ) Tasa de interacción biológica ) Modela la interacción entre dos poblaciones (por ejemplo, depredador y presa), cuyo encuentro aumenta con la densidad de cada especie, pero se modera cerca del origen. P(x,y)=(x^2 y^2)/(x^2+y^2 ) , (x,y)≠(0,0) ; P(0,0)=0 Composición económica (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0); 𝑃(0,0) = 0 Describe el valor de una producción en función de un insumo 𝑥, sujeto a un factor de crecimiento exponencial 𝑒 , donde 𝑦 puede interpretarse como inflación o índice de productividad. E(x,y)=xe^y Producción conjunta de dos bienes Expresa la manera en que la combinación de dos insumos 𝑥 e 𝑦 genera un producto total, con rendimiento decreciente a medida que aumentan simultáneamente. G(x,y)=(x^2 y^2)/(x^2+ y^2+ 1)