Numerikus analízis 7. Differenciálás és Integrálás 2025 скачать в хорошем качестве

Numerikus analízis 7. Differenciálás és Integrálás 2025

Ez a videó a Numerikus analízis tantárgy keretében a numerikus differenciálás és integrálás témakörét dolgozza fel. Az előadás során a matematikai deriváltak és integrálok közelítő számítási módszereit, azok hibabecsléseit és stabilitását ismerhetjük meg. Főbb témakörök és fejezetek: 1. Numerikus differenciálás (deriválás) A videó a derivált definíciójából indul ki, majd bemutatja, hogyan lehet azt véges differenciákkal közelíteni. Elsőrendű differencia képletek: [09:58] Jobboldali differencia: Amikor a ponttól jobbra eső segédpontot használunk. [12:54] Baloldali differencia: Amikor a ponttól balra eső segédpontot használunk. [12:18] Magasabb rendű közelítések: Lagrange-polinomok segítségével pontosabb, másodrendű képletek vezethetők le. [21:00] Centrális differencia képlet: Egy szimmetrikus módszer, amely a vizsgált pont körüli két pontot használja fel, így másodrendű pontosságot ér el. [28:01] Második derivált közelítése: Taylor-sorfejtés segítségével levezetett módszer a függvény második deriváltjának számítására. [33:30] Stabilitási kérdések: A numerikus deriválás egy „instabil” feladat, mivel a kerekítési hibák a lépésköz (h) csökkentésével egy bizonyos pont után drasztikusan növelhetik a hibát. [41:20] 2. Numerikus integrálás (kvadratúra szabályok) A cél a függvény alatti terület (határozott integrál) közelítése súlyozott függvényértékek összegeként. Newton-Cotes formulák: Olyan módszerek, ahol az integrálandó függvényt Lagrange-polinommal helyettesítjük. [51:21] Trapézszabály: A függvényt egyenessel közelítjük. Elemi trapézszabály: [57:05] Összetett trapézszabály: Az intervallumot több részre osztva alkalmazzuk a módszert a nagyobb pontosság érdekében. [01:01:24] Simpson-szabály: A függvényt másodfokú parabolával közelítjük, ami negyedrendű pontosságot eredményez. Elemi Simpson-formula: [01:05:04] Összetett Simpson-formula: [01:06:42] Gauss-kvadratúra: Egy speciális módszer, amely nem egyenletesen elosztott pontokat használ, hanem optimálisan megválasztott csomópontokat (pl. a [−1,1] intervallumon), hogy minél magasabb fokszámú polinomokra adjon pontos eredményt. [01:13:37] Fontosabb megjegyzések a vizsgához: Az előadó kiemeli, hogy bár a Gauss-kvadratúra elméleti háttere (bizonyítása) nem része a vizsgatételeknek, a gyakorlati alkalmazását (példamegoldást, transzformációt [−1,1] intervallumra) ismerni kell. [01:17:23]