מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 69 - אקסיומת השלמות, אקסיומת החסם העליון והתחתון ואקסיומת תכונת המרווח (3) скачать в хорошем качестве

מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 69 - אקסיומת השלמות, אקסיומת החסם העליון והתחתון ואקסיומת תכונת המרווח (3)

אינפי 1 לאדיוטים פרק 1 (המספרים הממשיים) תת-פרק 8 (חסמים מלעיל ומלרע, אקסיומות החסם העליון והתחתון, אקסיומת השלמות, ארכימדיות, צפיפות, ריצפה, תקרה ושבריות) חלק 5 שקילות בין האקסיומות הבאות: 1. אקסיומת החסם-העליון, שטוענת שבהינתן קבוצה לא-ריקה וחסומה-מלמעלה, אז קיים לה חסם-עליון. 2. אקסיומת החסם-התחתון, שטוענת שבהינתן קבוצה לא-ריקה וחסומה-מלמטה, אז קיים לה חסם-תחתון. 3. אקסיומת השלמות, שטוענת שאם קבוצות לא ריקות מקיימות את זה שאחת גדולה-שווה לאחרת במובן שכל איבריה גדולים-שווים לכל איברי האחרת, אזי יש איבר מפריד. 4. אקסיומת תכונת המרווח, שטוענת שכל מרווח חסום (כל קבוצה ללא-חורים שחסומה) הוא קטע (סופי כמובן...) הוספת אקסיומה נוספת שכנראה שקולה לאלו שהיו עד כה שתואמת את האינטואיציה הפילוסופית שתופסות כלל האקסיומות האלה... שבעצם אומרת שמרווח לא-חסום שאינו כל הישר הממשי הוא קרן. זה מכריח קיום נקודה ממנה יוצאת הקרן, שקיום הנקודה הזאת שקול לקיומים שמובטחים באקסיומות האחרות. פילוסופית לפחות. לא נוכיח את השקילות אבל ראוי להעיר את התחושת בטן הזאת... הוכחת שקילות אקס' החסם העליון לאקס' תכונת המרווח. בעצם הרעיון שכדי להוכיח את אקס' תכונת המרווח, שאפשר ע"י אקס' החסם העליון והתחתון לקבל מהחסימות של הקב' הנתונה, את האינפימום והסופרימום. ואז מראים שהקטע המורכב מאותם סופרימום ואינפימום הוא בהכרח הקב' הנתונה... וכדי להוכיח את אקס' החסם העליון לוקחים קב' חסומה מלמעלה, לוקחים חסם מלמעלה כלשהו שלה, בונים ממנו קב' של כל החסמים מלמעלה שקטנים ממנו, היא בהכרח מרווח חסום. ולכן היא קטע. ולכן יש לה נקודת קצה שמאלית שתוחמת אותה. הנקודת קצה הזאת היא בהכרח הסופרימום. כי היא המינימום לחסמים מלמעלה, שכן אם לא היתה המינימום, היה אפשר לקבל סתירה ברורה קלאסית מאיבר בקבוצה שנמצא מימינה ושאפשר ליצור על ידו חסם מלמעלה "בעייתי" במובן זה שאינו חוסם את הנקודה הבעייתית הזאת. בסתירה. (הוכחתי את האינטואיציה אבל לא הבהרתי עד הסוף את זה אלגברית, מקווה שאזכור שיעור הבא לסיים את החלק האלגברי שמאוד קריטי לאוהבי הפורמליות והרגורזיות...) עריכה- לא זכרתי. תאכלו ת'לב.