מתמטיקה - שיעור 68 - אקסיומת השלמות, אקסיומת החסם העליון והתחתון ואקסיומת המרווח - שקילות (חלק 2) скачать в хорошем качестве

מתמטיקה - שיעור 68 - אקסיומת השלמות, אקסיומת החסם העליון והתחתון ואקסיומת המרווח - שקילות (חלק 2)

אינפי 1 לאדיוטים פרק 1 (המספרים הממשיים) תת-פרק 8 (חסמים מלעיל ומלרע, אקסיומות החסם העליון והתחתון, אקסיומת השלמות, ארכימדיות, צפיפות, ריצפה, תקרה ושבריות) חלק 4 שקילות בין האקסיומות הבאות: 1. אקסיומת החסם-העליון, שטוענת שבהינתן קבוצה לא-ריקה וחסומה-מלמעלה, אז קיים לה חסם-עליון. 2. אקסיומת החסם-התחתון, שטוענת שבהינתן קבוצה לא-ריקה וחסומה-מלמטה, אז קיים לה חסם-תחתון. 3. אקסיומת השלמות, שטוענת שאם קבוצות לא ריקות מקיימות את זה שאחת גדולה-שווה לאחרת במובן שכל איבריה גדולים-שווים לכל איברי האחרת, אזי יש איבר מפריד. 4. אקסיומת תכונת המרווח, שטוענת שכל מרווח חסום (כל קבוצה ללא-חורים שחסומה) הוא קטע (סופי כמובן...) הוכחת שקילות אקס' החסם העליון לאקס' השלימות. בעצם החסם העליון יהיה האיבר המפריד והאיבר המפריד יהיה החסם העליון בהוכחות. ובפירוט- כשמוכיחים את אקס' השלימות, לוקחים את הסופרימום של הקבוצה שלמטה ומראים שהוא אכן איבר מפריד. וכשמוכיחים את אקס' החסם העליון, בונים בכוח קבוצה שצמודה מלמעלה באופן פסיכי לקב' הנתונה, והאיבר המפריד יהיה בהכרח החסם-העליון. פילוסופיה בשקל של פחות או יותר מה הן 4 האקסיומות האלו, ולמה רעיונית לפחות הן תופסות את אותו "עומק" פילוסופי... כשהרעיון שהן תופסות הוא כזה: ברגע שאתה "מטייל" ב"עולם כלשהו" אם אתה נתקע כי אתה "פוגש" בקב' כלשהי, אתה יכול לדעת "איפה נתקעת", כי בהכרח המיקום בו נתקעת "קיים". זה לא תמיד ככה. ברציונאליים אפשר למשל לטייל ולהיתקע בלי שאפשר "לתת שם" לנקודה בה נתקעת... וזו התכונה הפילוסופית שהממשיים תופסים: שאתה יודע תמיד איפה נתקעת אם נתקעת. תמיד!