מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 55 - הנוסחא לסכום ריבועים וניקומאכוס - הוכחה 13 (יפה) - ע"י מספרים משולשיים скачать в хорошем качестве

מתמטיקה לאדיוטים - שיעור 55 - הנוסחא לסכום ריבועים וניקומאכוס - הוכחה 13 (יפה) - ע"י מספרים משולשיים

אינפי 1 לאדיוטים פרק 1 (המספרים הממשיים) תת-פרק 6 (המספרים הטבעיים השלמים והרציונאליים ועקרון המינימום ועקרון האינדוקציה) חלק 32 הגדרת מספר משולשי כמספר שאפשר ליצור ממנו משולש של כדורים, ונסמן אותו Tk. הצגה רקורסיבית למספרים המשולשיים - המספר המשולשי הראשון הוא T1 = 1. (אפשר גם להגדיר T0 = 0 כמספר המשולשי הראשון) ומתקיים הקשר הרקורסיבי הברור: Tn = Tn-1 + n (מכיוון שבהוספת שורה בגודל n למשולש הקודם מתקבל משולש חדש) הצגה ישירה למספרים המשולשיים - Tn = 1+...+n = n(n+1)/2 = (n+1)C2 הוכחה- השוויון ל- n+...+1 הוא ברמת ההגדרה, פשוט סוכמים את כמות הכדורים בכל שורה במשולש המתאים. השוויון ל- n(n+1)/2 נובע ישירות מסכום חשבוני שהוכחנו כבר בהמון דרכים במהלך הסרטונים. והשוויון ל-(n+1) על 2, גם כן הוכח כשדיברנו לראשונה על קומבינציות ומקדמים בינומיים. הנוסחא לסכום מספרים משולשיים - T1+...+Tn = n(n+1)(n+2)/6 הוכחה- מסתמכת באופן ישיר בזהות מקל ההוקי. תכונת הריבועיות - Tn-1 + Tn = n^2 הוכחה- ניתן לראות את החיבור כהצמדה של 2 משולשים שיוצרים ביחד ריבוע בעל צלע בגודל n ולכן יש בו בדיוק n*n כדורים. בעצם השורה ה-n-ית ב-Tn הופכת להיות האלכסון בריבוע... הוכחה 13 לנוסחא לסכום ריבועים - בעזרת התכונה הריבועית של המספרים המשולשיים ממירים את סכום הריבועים לסכום מסויים של מספרים משולשיים. עם קצת אלגברה ושימוש בנוסחא לסכום מספרים משולשיים ובהצגה הישירה למספרים משולשיים מתקבלת ההוכחה לנוסחא לסכום ריבועים. נוסחת ניקומאכוס (שסכום שלישיות שווה לריבוע של סכום חשבוני) - בשילוש של תכונת הריבועיות, עם תכונה דומה כשמחסרים מ-Tn את Tn-1, שזה נותן בדיוק את השורה האחרונה במשולש של Tn שזה שורה בגודל n. קרי- בשימוש בנוסחאות: Tn + Tn-1 = n^2, Tn - Tn-1 = n ברור שאפשר להכפילן ולהציג סכום שלישיות ע"י משהו שיהיה טלסקופי. כך מוכחת בנקל נוסחת ניקומאכוס.